Folgen, Konvergenz und Grenzwert?

Question

Hi,
kann mir jemand sagen ob ich richtig vorgehe?
also das Ergebnis ist 1/2. Aber irgendwie bekom ich den Rechenweg nicht hin...

Entscheiden Sie, ob die Folgen (an)n2N konvergent sind, und berechnen Sie in diesem Fall den Grenzwert:

Answer 1

Ein Vorzeichenfehler ist in der dritten Zeile im Zähler, dort muss -1 statt 1 stehen und
√(n^2 + 2) + √(n^2 + 1) ≠ √(n^2 + 2 + n^2 + 1) in der vierten Zeile.

Answer 2

√(n^2 + 2) - √(n^2 + 1)

= (√(n^2 + 2) - √(n^2 + 1))·(√(n^2 + 2) + √(n^2 + 1)) / (√(n^2 + 2) + √(n^2 + 1))

= ((n^2 + 2) - (n^2 + 1)) / (√(n^2 + 2) + √(n^2 + 1))

= 1 / (√(n^2 + 2) + √(n^2 + 1))

= 1 / (n·√(1 + 2/n^2) + n·√(1 + 1/n^2))

= 1 / (n·(√(1 + 2/n^2) + √(1 + 1/n^2)))

Lim n --> ∞

= 1 / ∞

= 0