Es geht darum, Reihen mit beliebiger Indexmenge zu summieren. Wenn die Indexmenge \(\mathbb{N}\) ist, definiert man die Reihensumme bekanntlich als Grenzwert der Partialsummen. Da verwendet man:
(1) \(\mathbb{N}\) ist wohlgeordnet,
(2) \(\mathbb{N}\) ist abzaehlbar.
Ohne (1) und (2) kann man keine \(n\)-te Partialsumme anschreiben. Die Definition von "summierbar" soll einen Ersatz für diese Prozedur hergeben, da man scheinbar auf beides verzichten kann. Zur Definition siehe Deine Unterlagen.
Bei a) nimmt man irgendwie endlich viele Glieder und addiert die. Die Summe soll immer unterhalb einer Schranke bleiben. Und das Supremum ueber alle solche endlichen Summen soll die Reihensumme sein. Das soll bei Reihen mit nichtnegativen Gliedern auf das Gleiche rauskommen wie bei der Definition der Summierbarkeit. (Soll also eine Entsprechung zum Monotoniekriterium sein.)
Uebertrieben sinnvoll scheint die Definition der Summierbarkeit nicht zu sein. Es duerfen nur abzaehlbar viele Reihenglieder \(\ne0\) sein, sonst ist die Reihe nie summierbar. (Das ist eine Uebungsaufgabe im Koenigsberger!) Man kann also gleich annehmen, dass es eine Bijektion \(\phi\) von \(\mathbb{N}\) nach \(I\) gibt und definiert stattdessen $$\sum_{i\in I}a_i:=\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}.$$ Damit das wohldefiniert ist, muss die Reihe rechts für eine (und dann jede) Bijektion \(\phi\) absolut konvergieren. Findet man so in aelteren Buechern anstelle der unnuetzen Summierbarkeit zusammen mit dem praktischen "Grossen Umordnungssatz".
