mit Potenzreihen:
$$ y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n} $$
Bestimme zu erstmal die Ableitung:
$$ y'=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n *n*x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n} $$
Setze nun beides in die DGL ein:
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=4x\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n}\\\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{4a_n *x^{n+1}}\\ $$
Damit diese Gleichung stets erfüllt ist , müssen die Koeffizienten vor der jeweiligen Potenz von x auf beiden Seiten gleich sein. Auf der rechten Seite sind die Potenzen um eins verschoben, dort gibt es keinen Absolutterm. Daher ist
$$ a_1=0\\a_{n+2}*(n+2)=4a_n $$
Da a1=0 ist, sind alle Koeffizienten mit ungeraden Index ebenfalls gleich 0.
Interessant sind also nur die geraden n. Setze daher n=2k mit k=0,1,2....
Schreibe etwas um:
$$a_{2k+2}*(2k+2)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}*2(k+1)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}(k+1)=2a_{2k}\\a_{2(k+1)}=\frac{2a_{2k}}{k+1}\\b_{k+1}=\frac{2b_k}{k+1} $$
Dies Rekursion wird durch die Folge
$$b_k=C*\frac{2^{k}}{k!},C\neq0 $$
erfüllt. Somit ergibt sich
$$y=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{2k}x^{2k}}=\sum_{k=0}^{\infty}{b_{k}x^{2k}}\\=\sum_{k=0}^{\infty}{C\frac{2^k}{k!}x^{2k}} $$
Mithilfe der AWB kann nun noch C bestimmt werden:
$$y(0)=C=1 $$
Dieses Ergebnis kannst du nun auch überprüfen, denn es ist $$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}x^{2k}} =e^{2x^2} $$
