DGL mit Potenzreihen lösen y'=4xy, y(0)=1

Question

y'=4xy, y(0)=1 ich muss es mit potenzreihen lösen ich weiß, dass formel für potenzreihen y und y' aber weiter kann ich nicht lösen

Comments

Wer sagt, dass du das so machen musst? Die DGL sieht separierbar aus.

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Ja man kann sehr leicht finden aber angabe sagt das ich es mit potenzreichen machen soll :)

Answer 1

mit Potenzreihen:

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n}$$

Bestimme zu erstmal die Ableitung:

$$y'=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n *n*x^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}$$

Setze nun beides in die DGL ein:

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=4x\sum_{n=0}^{\infty}{a_n *x^n}\\\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n+1}*(n+1)*x^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{4a_n *x^{n+1}}\\$$

Damit diese Gleichung stets erfüllt ist , müssen die Koeffizienten vor der jeweiligen Potenz von x auf beiden Seiten gleich sein. Auf der rechten Seite sind die Potenzen um eins verschoben, dort gibt es keinen Absolutterm. Daher ist

$$a_1=0\\a_{n+2}*(n+2)=4a_n$$

Da a₁=0 ist, sind alle Koeffizienten mit ungeraden Index ebenfalls gleich 0.

Interessant sind also nur die geraden n. Setze daher n=2k mit k=0,1,2....

Schreibe etwas um:

$$a_{2k+2}*(2k+2)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}*2(k+1)=4a_{2k}\\a_{2(k+1)}(k+1)=2a_{2k}\\a_{2(k+1)}=\frac{2a_{2k}}{k+1}\\b_{k+1}=\frac{2b_k}{k+1}$$

Dies Rekursion wird durch die Folge

$$b_k=C*\frac{2^{k}}{k!},C\neq0$$

erfüllt. Somit ergibt sich

$$y=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{2k}x^{2k}}=\sum_{k=0}^{\infty}{b_{k}x^{2k}}\\=\sum_{k=0}^{\infty}{C\frac{2^k}{k!}x^{2k}}$$

Mithilfe der AWB kann nun noch C bestimmt werden:

$$y(0)=C=1$$

Dieses Ergebnis kannst du nun auch überprüfen, denn es ist $$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}x^{2k}} =e^{2x^2}$$

Comments

Ich habe alles verstanden auser wir haben wir a1 =0 gesagt und a_(n+2) *(n+2) = 4a_n

Gefunden und wo ist a_0

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Noch mal a_1 =0 hab ich verstanden wie. Aber wie finden wir a_n+2 *(n+2) = 4a_n

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Noch mal ich habe jetzt komplett verstanden nach ein paar versuche :) danke für deine Hilfe