Matrizen in Körper, deren Quadrate die Nullmatrix 0 ergibt.

Question

K sei ein Körper. Geben Sie alle Matrizen in K^2x2 an, deren Quadrat die Nullmatrix 0 ergibt.

ich versuche gerade Matrizen besser zu verstehen, kann mir jemand verraten, wie man diese Aufgabe löst? Lg Laura

Answer 1

Sei \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}\) eine Matrix, dessen Quadrat die Nullmatrix ist. Dann ist einerseits

        \(M^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix}\)

laut Voraussetzung. Andereseits ist

        \(M^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2 \end{pmatrix}\)

laut Matrixmultiplikation. Gleichsetzen liefert

        \(\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\).

Das ergibt ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten. Löse es.

Comments

Oh stimmt! Ich danke dir oswald, das hilft mir sehr <3