Maximales Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche aus einem Draht der Länge l=144cm

Question

Aus einem Draht der Länge l=144cm soll ein durch seine Kanten angedeuteter Quader mit quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Welche Maße sind für die Kanten des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll?

Answer 1

Kanten der Grund und Deckfläche: Länge x

Vertikale Kanten: Länge y

Nebenbedingung:

8x + 4y = 144

2x + y = 36

y = 36 -2x

V(x,y) = x^2 *y

y einsetzen

V(x) = x^2 (36-2x) = 36x^2 - 2x^3

V ' (x) = 72x - 6x^2 = 0           |Null setzen

x ( 72 - 6x ) = 0

Nullstellen der Ableitung

x₁ = 0                Sicher nicht das max. Volumen.     ---> 2. Nullstelle automatisch Max und nicht Min.

72 = 6x_2, x2 = 12

zugehöriges y = 36 - 24 = 12

Quader hat die Grundkantenlänge 12 cm. Die vertikalen Kanten messen ebenfalls 12 cm. Es handelt sich um einen Würfel.