Vektorraum Automorphismus

Question

Hallöchen:)

Ich habe eine Aufgabe mit Vektorräumen, deshalb brauche ich eure Unterstützung. die Aufgabe lautet:

Sei V ein K -Vektorraum. Ein Automorphismus von V ist per Definition eine bijektive lineare Abbildung. Die Menge der Automorphismen von V wird mit Aut(V ) bezeichnet. Seien weiter lineare Abbildungen f : V → V und g : V → V gegeben und f ◦g deren Verkettung V → V,v  → f(g(v)). Zeigen Sie, dass (Aut(V ), ◦) eine Gruppe ist.

:)

Comments

Hallo Austan432,

prüfe mal die Gruppenaxiome auf ihre Gültigkeit. Wenn Du fragen zum Cabriomorphismus hast, stelle sie einfach.

Grüßchen

Der Fuchs unter den Mathematikern

Answer 1

Du musst die Gruppenaxiome prüfen:

1. Abgeschlossenheit:   Seien also f und g aus Aut(V) . Zeige  fog ist auch aus Aut(V).

Dem ist so, weil die Verkettung linearer Abbildungen linear ist und die 

Verkettung bijektiver Abb'en bijektiv.  Und wenn f und g beide von V nach V gehen, dann 

auch die Verkettung.

2. Assoziativität gilt bei der Verkettung von Abb'en immer.

3. neutrales El. ist die Abbildung  id:  V → V mit id(v)=v für alle v ∈ V,

4. inverse Elemente:   Sei f ∈ Aut(V), also bijektiv und linear.

Dann existiert die inverse Abb. f^-1 von f und ist auch bijektiv und linear und

geht von V mach V.