Lineare Gleichungssysteme 3 Gleichungen

Question

Ich weiß nicht genau wie ich das lösen soll. MfG x+y=28, x+z=30, y+z=32

Answer 1

Bilde zunächst die Summe aller drei Gleichungen und dividiere das Ergebnis durch 2. Subtrahiere nun von der so erhaltenen Gleichung jeweils die drei Ausgangsgleichungen, so dass schließlich drei neue Gleichungen entstehen.

PS: Ich ergänze noch den oben angedeuteten Ansatz ((1)+(2)+(3))/2:

$$ x+y+z = 45 $$Offenbar ist diese Gleichung komplizierter als die drei Ausgangsgleichungen. Diese Verkomplizierung wird sich für die weitere Rechnung allerdings als großer Vorteil erweisen, denn nach Subtraktion von jeweils einer der drei Ausgangsgleichungen (ggf. auch im Kopf durchführbar) stehen die Ergebnisse sofort da.

Damit ist dieser Weg der mit Sicherheit am wenigsten arbeitsintensive...

Answer 2

Bei der Aufgabenstellung ist es wahrscheinlich
am wenigsten arbeitsintensiv :

1.) x+y=28
2.) x+z=30  | abziehen
---------
y - z = -2
3.) y + z = 32 | abziehen
------------
- 2z = -34
z = 17

in 3.) y + 17 = 32
y = 15

in 1.) x + 15 = 28
x = 13

Answer 3

Löse erste Gleichung nach einer Variablen auf. Setze in alle anderen Gleichungen ein. Du hast dadurch ein neues Gleichungssystem, bei dem die erste Gleichung nach einer Variablen umgeformt ist und diese Varaible in den zwei anderen Gleichungen nicht mehr vorkommt.

Verfahre ebenso mit der zweiten Gleichung des neuen Gleichungssystems.

Und mit der dritten Gleichung des daraus resultierenden Gleichungssystems.

Comments

Kann ich auch in die erste Gleichung mein Ergebnis von dieser Gleichung für y in y einsetzen?

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Das solltest du nicht machen, weil du dadurch Variablen verlierst. In der zweiten und dritten Gleichung kommt ja nach dem Einsetzen kein y mehr vor. Wenn jetzt in der ersten Gleichung auch kein y mehr vorkommt, dann kannst du y nicht mehr berechnen, ohne auf frühere Gleicungsssteme zurückzugreifen.

Erste Gleichung nach y umformen:

        y = 28 - x

In die zwei anderen Gleichungen einsetzen:

        x + z = 30
        (28-x) + z = 32

Neues Gleichungsystem ist also

        y = 28 - x
        x + z = 30
        (28-x) + z = 32

Ersetzt du jetzt auch noch das y in der ersten Gleichung durch 28 - x, dann hast du das Gleichungssystem

        28 - x = 28 - x
        x + z = 30
        (28-x) + z = 32

Um irgendwann später dann das y zu berechnen, kannst du dieses Gleichungssystem nicht verwenden, weil kein y mehr vorkommt. Stattdessen in dem Gleichungssystem

        y = 28 - x
        x + z = 30
        (28-x) + z = 32

die zweite Gleichung nach z.B. nach x umformen (also x = 30-z) und einsetzen:

        y = 28 - (30-z)
        x = 30 - z
        (28-(30 - z)) + z = 32.

N.B. es wäre praktischer gewesen, wenn ich die zweite Gleichung stattdessen nach z umgeformt hätte. Dann hätte ih mir die Einsetzung in die erste Gleichung gespart. An der Korrektheit der Lösung ändert das aber nichts.