Mathematik Extremwertaufgabe. Mich verwirren die Grenzen

Question

Liebe Leute,

kann mir einer bei dieser Extremwertaufgabe helfen.

Mich verwirren die Grenzen von X . Ich weiß nicht wie ich die Flächenfunktion aufstellen soll.

Mein Ansatz wäre : (x-1)*4/X²

Answer 1

Hi,

dein Gebiet G ist die Fläche zwischen der roten Senkrechten, der grünen Senkrechten, der x-Achse und dem Funktionsgraphen.

Die linke Seite des Rechtecks wird auf jeden Fall auf der roten senkrechten, d.h. x=1, liegen und die Unterseite wird auf der x-Achsex, d.h. y=0, liegen. (Klar warum?)

Nun willst du \(A(x)=(x-1) \cdot (f(x)-0) = 4 \cdot \frac{x-1}{x^2}\) maximieren.

Hierbei ist x-1 die Länge der Unter-/Oberseite und f(x) die Höhe des Rechtecks.

Comments

also ist mein Ansatz

(x-1)*4/X2

richtig??

Grüße 

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Huch, hatte ja gar nicht gesehen, dass da bei dir schon stand. Ehm ja, das ist korrekt :)

Was tust du nun?

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Ableiten dann 

den x Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen um Y auszurechnen.

Dann einfach x mal y , dann sollte man die Volumeneinheiten rausbekommen

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Ja, ableiten und der errechneten Wert für x dann in A(x) einsetzen. Aber was meinst du mit x mal y? A(x) ist ja schon der Flächeninhalt den du berechnen sollst.

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dachte ich rechne  x und y aus . Denn die Flächenformel lautet ja A=X*Y

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Achso.

Also \( x \cdot y \) wird nicht klappen. Du musst \( A(x)=(x-1) \cdot f(x) = (x-1) \cdot y \) berechnen. Deine Höhe ist y=f(x) und die Länge der Unterseite ist x-1.

Answer 2

mache Dir eine Zeichnung - so wie diese

~plot~ 4/(x^4)*((x>1)*(x<4));0.79*(x>1)*(x<1.5);[[-1|5|-0.5|4]] ~plot~

dort siehst Du das rote Rechteck, was sich zwischen den Koordinaten \(x_0=1\) und \(x=1,5\) befindet. Erhöht man den Wert für \(x\) so wird es zwar länger, aber auch flacher. Gesucht ist nun ein Wert für dieses \(x\) bei dem das Rechteck maximalen Flächeninhalt annimmt.

Dein Ansatz für den Flächeninhalt \(A\) ist völlig korrekt

$$A = g \cdot h = (x-x_0) \cdot f(x) = (x-1)\cdot \frac{4}{x^2}$$

Die Ableitung nach \(x\) ist

$$A'= \frac{4x^2 - 8(x-1)x}{x^4} = \frac{8-4x}{x^3}$$

nach Nullsetzen (des Zählers):

$$8-4x_{\max} = 0$$erhält man

$$x_{\max}=2$$

Answer 3

Hier schon einmal die Skizze

Gesucht ist das größtmögliche Rechteck unterhalb
der Funktion f ( x ) = 4/x^2
A ( x ) = ( x-1 ) * 4 / x^2

A ´( x ) = 1 * 4 / x^2 + ( x -1 ) * (- 8 ) / x^3

Extremwert A ´( x ) = 0
x = 2

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