Matrix von Rang r. Zeigen Sie: Es gibt ... mit LAR =∑_(i=1)^r E_(i,i).

Question

Hallo. Ich brauche Hilfe mit meiner Aufgabe.

Es seien K ein Körper und A ∈ K^p×q eine Matrix von Rang r. Zeigen Sie:
(a) Es gibt Matrizen L ∈ GL_p(K) und R ∈ GL_q(K), so dass LAR =∑_i=1^r E_i,i.
(b) Es gibt eine Matrix B ∈ K^q×p mit ABA = A.
(c) Fuer die Matrix B aus Teil (b) gilt: Das lineare Gleichungssystem Ax = b für ein b ∈ K^p
ist genau dann lösbar, wenn ABb = b. In diesem Fall ist die Lösungsmenge L(A, b) durch

                      L(A, b) = {y − BAy + Bb | y ∈ K^q }

gegeben.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: es seien k ein Körper und a aus k^p*q eine matrix von rang r.

Stichworte: körper,matrix

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hey, kann jmd. mir bei dieser aufgabe paar tipps geben habe leider keinen Ansatz dazu.

danke im voraus.

mfg

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Vom Duplikat:

Titel: Es seien K ein Körper und A ∈ K…^p×q eine Matrix von Rang r. Zeigen Sie:

Stichworte: matrix,körper

hey, kann jmd. mir paar tipps zu dieser Aufgabe geben? habe leider keinen Ansatz bisher.

MfG

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Was genau ist GL? L und R ? Sicher, dass 

" L ∈ GL_(p)(K) und R ∈ GL_(q)(K), so dass LAR =∑_(i=1)^{r} E_(i,i). " stimmt? 

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Das ist die Aufgabe.

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GL abkürzt das englische "general linear group"

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Vom Duplikat:

Titel: Matrix B ∈ K^q×p mit ABA = A

Stichworte: matrix,körper,algebra

Hallo 

die a) habe ich verstanden und gemacht doch bei der b) versteh ich nicht was ich machen muss.   Vielen Dank !!

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Diese Fragen wurden bestimmt schon 5 mal eingestellt. Bitte suche die Antworten in den letzten 3-4 Tagen. 

Answer 1

a) Wenn f die zu A gehörige lineare Abbildung ist, 

also f : K^q ---> K^p mit f(x) = A*x , dann bedeutet Rang = r,

dass die Bildmenge f(K^q) ein k-dimensionaler Unterraum von K^p ist.

Es gibt also Basen B₁=(v₁,...,v_r,v_r+1,...,v_q) von K^q und  B₂= {w₁,.,w_r,w_r+1,..,w_q} von K^p so, dass 

f(v_i) = w_i für i≤r und f(v_i)=0 für i>r ist. Und die Matrizen der Basiswechsel von

der Standardbasis des K^q zu B₁ bzw.  von B₂ zur Standardbasis in K^p sind regulär,

also aus GL_p(K) bzw. GL_q(K).

Und die Matrix bzgl. der neuen Basen hat in den ersten r Spalten in der Hauptdiagonale

je eine 1 und ansonsten 0en, ist also genau die geforderte Summe.

Answer 2

Elementare Zeilenumformungen können durch Matrizen dargestellt werden, in dem Sinne, dass es zu jeder elementaren Zeilenumfomung eine Matrix Z gibt, so dass Z·M genau die Matrix ist, die aus M entsteht indem man die elementare Zeilenumformung auf M durchführt.

Die Matrix Z kommt dabei aus der allgemeinen linearen Gruppe.

Analog dazu können elementare Spaltenumformungen durch Matizen dargestellt werden, die dann allerdings von rechts an die Matrix multipliziert werden.

(a) besagt: A kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen so umgeformt werden, dass die ersten r Zeilen und Spalten die Einheitsmatrix ist, und alle anderen Einträge Null sind.

Answer 3

Hallo Lu, du hast geschrieben, dass die Aufgabe schon mehrfach eingestellt wurde.  Ich habe aber leider nur einen Eintrag gefunden, https://www.mathelounge.de/300276/matrix-eines-korpers-existenz-weiteren-matrizen-beweisen, der nur Teilaufgabe a behandelt.  Ich habe sowohl unter „Ähnliche Fragen“, als auch in der MatheLounge Suche gesucht.

Hallo Oswald, zu Teilaufgabe a:  Deine Ausführungen sind nachvollziehbar, und ich kam mit Hilfe meines Scripts auf folgendes Beispiel:

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
$$ L=\begin{pmatrix} 7/2 & -1 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 1/2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ (line)
$$ R=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ (row)
Probe:  $$ LAR=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$  -->  Korrekt.

habt ihr auch für Teilaufgabe b einen Tipp?  :-)