Extrema einer Parameterfunktion dritten Grades. f_(a)(x) = a^2 x^3 + 6a x^2 + 9x

Question

Heyho,

komme überhaupt nicht mehr zurecht, kann mir einer hier weiterhelfen ? Bitte, Danke.

MfG !

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Warum verwendest du nicht die abc-Formel/Mitternachtsformel?

Falls du die pq-Formel nehmen willst_

x^2+1/(4a) *x -3/a^2

p= 1/(4a), q= -3/a^2

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Ich kann die nicht auswendig. >.< Kb das zu lernen. Ist meine Lösung komplett falsch oder? Mathe frisst so enorm viel Zeit und bringt immer so wenig Erfolg bei mir... xD Du hast die Potenzen einfach umgeschrieben, ge ? Hoch minus 1 = 1/4 ? Sieht gut aus, was du da geschrieben hast. Danke (-:

Answer 1

Dein letzter Schritt ist falsch:

x²+(4/a) *x  = -3/a²

x²+(4/a) *x  + 4/a²   = -3/a2 + 4/a²  = 1/a²

(x + 2/a)² = 1/a²  

x= 1/a oder x = -3/a  für a>0 .

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Wo genau benutzt du a>0 ? 

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Danke das mit a>0 Frage ich mich auch gerade. Der Rest war soweit in Ordnung ? Danke dir ! Glaub er meint die Fallunterscheidung möööööp

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(x + 2/a)² = 1/a² ... Wurzel ... -2/a

x1 = -2/a +/- Wurzel 1/a² ... auflösen

x1 = -2/a + 1/a = -1 ???

x2 = -2/a-1/a = -3 ???

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x1 = -2/a + 1/a = -1 ???

x2 = -2/a-1/a = -3 ???

????

Mach mal ein Beispiel:

-2/4 + 1/4 = -1 ? 

oder 

-2/4 - 1/4 = -3   ?

Das wäre ja

-0.5 + 0.25 = -1  ?

und 

-0.5 - 0.25 = -3   ? 

Wie geht das genau? 

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Ahhhhhhhh. Jetzt geht mir ein Licht auf, danke.

Answer 2

Ein paar Fakten zu Polynomen 3. Grades: 

Es kann nur folgende Fälle geben:

1. Zwei (unterschiedliche) reelle Extremalstellen.

2. Keine reellen Extremalstellen. (D.h. Diskriminante D = 0 und Diskriminante D < 0 ist nicht interessant).

So kannst du dir die Plagerei mit der 2. Ableitung sparen. 

Übrigens: Dein f ist nur dann 3. Grades, wenn a≠0. 

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"Mathe frisst so enorm viel Zeit und bringt immer so wenig Erfolg bei mir... xD "

Dann lerne die abc- oder die pq-Formel. So bist du schneller. abc- ist einfacher, wenn du mit Brüchen auf Kriegsfuss stehst.    -9 / (3a^2) = -3 / a^2 . a^2 kommt nicht einfach so über den Bruchstrich. 

f_(a)(x) = a^2 x^3 + 6a x^2 + 9x

f_(a)'(x) = 3 a^2 x^2 + 12a x + 9 = 0 

3 a^2 x^2 + 12a x + 9 = 0

 a^2 x^2 + 4 a x + 3 = 0     | Faktorisieren nach Vieta ist hier übrigens auch möglich!

Ansatz 

(ax + ___)(ax + ___) = 0      

Ausserdem weisst du 1*3 = 3 und 1+3 = 4

Deshalb :

(ax + 3)(ax + 1) = 0

Entweder 

ax = -3 also x_(1) = -3/a , weil a≠0

oder

ax = -1 also x_(2) = -1/a   , weil a≠0 

Kommst du nun selbst weiter?

Bis du eigentlich auf der Suche nach Gleichungen Ortslinien der Extrema? 

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vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Ich bin vorerst lediglich auf der Suche nach den Extremstellen. Also nach den X stellen

Das Ding bei deiner Antwort ist, dass ich generell beim Faktorisieren ein wenig ungeübt bin und erst recht, wenn es um ''Faktorisieren nach Vieta'' geht, weil diese Art von Faktorisieren, kenne ich leider überhaupt noch nicht.

Aber Dankeschön, sieht auch nett aus !

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a^2 x^2 + 4 a x + 3 = 0 

Für die abc-Formel hast du hier

a = a^2

b = 4a 

c = 3

x_(1,2) = 1/(2* a^2) * (-4a ±  √((4a)^2 - 4*a^2 *3)) )

= 1/(2a^2) * (-4a ± √(16a^2 - 12a^2) )

= 1/(2a^2) *(-4a ± ( √(4a^2))        | falls a>0

= 1/(2a^2) *(-4a ± 2a)  

x_(1) = -2a/(2a^2) = -1/a

x_(2) = -6a/2a^2) = -3/a

Fallunterscheidung wegen der Wurzel:

= 1/(2a^2) *(-4a ± ( √(4a^2))        | falls a<0
= 1/(2a^2) *(-4a ± 2(-a)) 
x_(1) = -6a/(2a^2) = -3/a
x_(2) = -2a/2a^2) = -1/a

Schlussendlich aber die gleichen beiden Nullstellen der ersten Ableitung. Also automatisch die gleichen beiden Extremalstellen. 

Mit Vieta ist die Geschichte halt weniger kompliziert. 

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könntest du mir das mal mit PQ vorrechnen ?

Andernfalls müsste ich die ABC Formel für derartige Aufgaben doch auswendig lernen ?

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Bei deinen Bruchrechenfehlern ist die abc-Formel sicher besser.

Und: Bitte Duplikate vermeiden. 

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Vielen Dank für die netten Antworten !!!