Rekursive Folge auf Konvergenz prüfen: x_(1):=7, x_(n+1) = √(7 + 2x_(n)) , für n≥ 1.

Question

Um zu zeigen das die Folge konvergiert muss man ja zeigen das sie beschränkt und monoton fallend/steigend ist.

Da wusste ich aber nicht wie ich anfangen soll. Deshalb hab ich die Annahme gemacht das es konvergiert und den Grenzwert bestimmt.

Der Grenzwert sollte folgend sein: 1+2*wurzel(2)

Doch wie zeige ich jetzt Monotonie und Beschränktheit?

Beschränktheit habe ich mithilfe einer vollständigen Induktion versucht zu zeigen komme da leider am ende auf nichts aussagekräftiges.

Grüße

Comments

Tipp: Aus \(x_n<x_{n-1}\) folgt \(7+2x_n<7+2x_{n-1}\), d.h. \(x_{n+1}^2<x_n^2\).

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Danke, aber ich sehe leider keinen Sinn darin? Kannst du bitte mehr erklären.

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Keiner verständliche Hilfestellung oder Rechenweg?

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Tipp2: Offensichtlich gilt \(x_n>0\) für alle \(n\). Zeige nun per Induktion über \(n\), dass die Folge \((x_n)\) streng monoton fallend ist.

Answer 1

x_(n+1) = √(7 + 2x_(n))

Falls es einen Grenzwert x gibt, muss gelten,

x = √(7 + 2x)

Löse schon mal diese Gleichung.

2. Schritt: Konvergenz nachweisen?

Kommentar von nn benutzen. 

Comments

Grenzwert habe ich bestimmt, siehe oben meine Frage.

Mir geht es darum wie man konvergenz hier bestimmen kann, bzw. Monotonie und Beschränktheit.

Aus der Hilfe von nn werde ich nicht Schlau, er gibt doch einfach nur eine Sache an aber den Beweis dazu sehe ich bei ihm nicht.

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 Wirklich keiner der Helfen kann ?

   

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Beschränktheit habe ich mithilfe einer vollständigen Induktion versucht zu zeigen komme da leider am ende auf nichts aussagekräftiges.

Die Folge der x_(n) ist durch s=0 nach unten beschränkt (Wurzeln sind nie negativ).

Wenn du das mit "monoton fallend" kombinieren kannst, bist du doch fertig (oder?) .