Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen

Question

Ich habe folgende Funktionenfolge, welche ich auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen soll. Meine Untersuchungen haben bereits ergeben, dass diese punktweise konvergent ist, bei der gleichmäßigen Konvergenz habe ich allerdings noch so meine Schwierigkeiten.  

$$ fn(x)=\frac{x^2}{1+(nx)^2} \quad auf \quad I=\mathbb{R} $$

Mein Ansatz war folgender:

$$ |fn(x)-f(x)|=|\frac{x^2}{1+(nx)^2}-0|$$

$$=x^2\frac{1}{1+(nx)^2} $$

$$ =n^2\frac{1}{\frac{n^2}{x^2}+1}$$

$$=\frac{n^2x^2}{n^2+1}$$

$$\geq\frac{n^20}{n^2+1}=0>\varepsilon$$

Damit hätte ich dann ja gezeigt, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert, aber stimmt das?

Answer 1

Nein, Deine Rechnung stimmt ueberhaupt nicht. Du ueberlegst Dir besser: Was passiert, wenn man die 1 im Nenner streicht.

Comments

Ah, also müsste dann

$$\frac{x^2}{1+(nx)^2}<\frac{x^2}{n^2x^2}=\frac{1}{n^2}<\varepsilon$$

für alle $$x\in\mathbb{R}$$ sein.

Muss ich dann noch notieren, dass das gilt, wenn $$n\geq n_0>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$$?

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Bzw. hab ich damit dann erfolgreich gezeigt, dass die Folge auch gleichmäßig konvergiert? 

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Den Fall x=0 musst Du schon noch gesondert betrachten.

Und? Was ist nun die Pointe von gleichmaessiger Konvergenz gegenueber punktweiser Konvergenz?

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Für x=0 muss ich das doch nur in fn(x) einsetzen. Und 

$$fn(0)=0$$

aber was sagt mir das jetzt?

Ich glaube worauf du hinaus willst ist das aus gleichmäßiger Konvergenz die punktweise folgt, oder?

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Die wesentlich Pointe bei gleichmaessiger Konvergenz ist, dass in $$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\quad\text{fuer alle $n>N$}$$ das \(N\) nur von \(\varepsilon\) abhaengt, aber nicht von \(x\). Man kriegt die Differenz gleichmaessig in \(x\) (d.h. für alle \(x\)) klein, wenn man nur \(n\) gross genug macht.

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Wie schreibe ich dann meine komplette Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz auf? 

Ich hätte das jetzt dann folgendermaßen aufgeschrieben

$$|fn(x)-f(x)|=|\frac{x^2}{1+(nx)^2}-0|$$

$$=\frac{x^2}{1+(nx)^2}<\frac{x^2}{n^2x^2}=\frac{1}{n^2}<\varepsilon$$

für alle
x∈R, falls $$n\geq n_0>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$$

Damit ist gezeigt, dass (fn) gleichmäßig gegen f konvergiert.

Oder stehe ich gerade noch irgendwo auf dem Schlauch? 

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Ist so ok, wenn Du noch was zum Fall x = 0 sagst. Deine Rechnung gilt ja nur für x ≠ 0.

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Wie ich den Fall x=0 noch unterbringen soll hab ich leider immer noch nicht verstanden 

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Deine Abschaetzung \(|f_n(x)-f(x)|<1/n^2\) gilt laut Herleitung nur für \(x\ne0\), da \(\frac{x^2}{(nx)^2}\) für \(x=0\) ein undefinierter Ausdruck ist. Loese dieses Problem in irgendeiner brauchbaren Weise auf.

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Das die Abschätzung für x=0 nicht gilt, das hab ich soweit; aber wie bekomme ich etwas das mir für x=0 hilft? Kannst du mir dahingehend eventuell noch einen Denkanstoß geben? :)

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Die Abschaetzung gilt sehr wohl auch für x = 0, wie man durch Einsetzen leicht nachprueft. Es ist nur so, dass die Herleitung das nicht hergibt, denn die gilt nur für x ≠ 0.

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Also setze ich x = 0 ein, dieses ergibt 0 und da 0 < ε gilt die Abschätzung dafür auch. Könnte ich das so in der Art aufschreiben? 

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Die für \(x\ne0\) gewonnene Abschaetzung ist aber doch \(|f_n(x)-f(x)|<1/n^2\). Dass die auch für \(x=0\) gilt, sollst Du bemerken.

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Das macht Sinn, vielen Dank für deine Hilfe, ich glaube mein Hirn wollte zu der Zeit gestern dann schon eine Pause haben ^^