Gleichungssysteme lösen über ℝ mit Parameter lambda

Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems über ℝ. Geben Sie die Lösungsmenge in der Form \( x_0 + L_0 \) an.

\( \begin{aligned} x_{1}+x_{2}-x_{3} &=1 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+\lambda x_{3} &=3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+3 x_{3} &=2 \end{aligned} \)

Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?

Answer 1

Versuche mal mit dem Gauss-Algorithmus. Da

kommt man für λ≠-3   z.B.   auf 

1     3/2      λ/2        3/2
0      1       λ+2         1
0      0        1          1/(λ+3) 

Also ist für  λ≠-3 die Lösung des

homogenen Systems nur der Nullvektor.

Comments

1  1  -1   1
2  3   λ   3    
1  λ   3   2

1  1  -1     1
0  1  λ+2  1      II - 2*I
1  λ   3     2

1  1   -1     1
0  1   λ+2  1     III - I
0 λ-1  4     1

1  1  -1             1
0  1  λ+2          1       III - (S-1)*II
0  0  -λ²-λ+6   -λ+2
Bei mir kommt das  raus nach Gauß.

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Ja und jetzt kannst du die letzte Zeile

noch was umformen

0  0     -λ²-λ+6   -λ+2
gibt dann 

0   0    ( -λ+2)*(λ+3)       -λ+2

Und da kannst du jetzt die Lösbarkeit analysieren:

für  λ=2 stehen in der letzten Zeile nur 0en. also

gibt es unendlich viele Lösungen, die haben alle 

bei x3 einen beliebigen Wert, etwa t 

und die zweite Zeile sagt dann 

 x2  + 4t = 1 also x2 = 1 - 4t 

und oben dann 

x1 = 1 - (1 - 4t ) + t =  5t also 

sehen die Lösungen so aus 

( 5t ; 1-4t ; t) = (0 ; 1 ; 0) + t*(5 ; -4 ;1 ) 

und die  t*(5 ; -4 ;1 )  sind die Lösungen 

des homogenen Systems.

Answer 2

Bring das System auf Stufennormalform.