Abstand des Punktes Q(2,4,-3) von der Geraden G

Question

Bestimme den Abstand des Punktes Q= (2,4,-3) von der Geraden G = { (2|1|-1) +t(-1|2|5) und den zugehörigen Punkt auf G, der Q am nächsten liegt.

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Mein Ansatz : Q einsetzen in die Ebenegleichung  bzw. Geradengleichung...

Wenn die nicht gegeben ist , soll ich dann erst (x,y,z) annehmen??

Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet :)

Answer 1

Hi,

gehe so vor:

1.) Stelle eine Hilfsebene auf, die durch den Punkt \(Q\) verläuft und als Normale den Richtungsvektor der Geraden hat.

2.) Bestimme den Schnittpunkt \(S\) der Hilfsebene und der Geraden.

3.) Abstand zwischen \(Q\) und \(S\) berechnen (Abstand zwischen zwei Punkten).

Comments

1) Ebene : x+y+z

Dann die Geradengleichung da einsetzen.

2) Hilfsebene mit Gerade gleichsetzen

3) Wurzel((y2-y1)+(x2-x1)

Weiß nur nicht, wie ich das in die Tat umsätze.. Bitte hilf mir,hab da auch Ansatz geschrieben... Will auch wissen, ob das so richtig war..

---

1.) Schau mal wie du eine Hilfsgerade aufstellst. Das habt ihr auf jeden Fall gemacht in der Schule :)

2.) Die Hilfsebene wird zu Beginn in Normalform gegeben sein. Somit ist es einfacher, wenn du die Geradengleichung einsetzt in die Gleichung der Hilfsebene. Wenn du das getan hast, musst du deinen Parameter \(t\) bestimmen der die Gleichung erfüllt.

3.) \(\sqrt{(y_2-x_2)^2+(y_1-x_1)^2}\) ist die Formel die du brauchst.

---

Kann man nicht einfach das Best Appromimationsschema anwenden...

Ax = b

---

Davon habe ich leider noch nie was gehört. Hast du dich vielleicht vertippt? Meinst du Approximation? Falls ja: Approximieren kann man hier nicht.

---

Ich meinte Beste Approximation

---

Eine Approximation ist ja eine Annäherung. Damit kannst du hier leider nicht tun.

---

Und wieso war das in der Klausur gefordet , lol

---

Also wir hatten damals nie eine Approximation gemacht gehabt. Und hier steht ja auch nichts von Approximieren. Vielleicht macht ihr das dann einfach so oder die Aufgabenstellung war etwas anders :)

---

War sie, aber wann kann man denn die Best  Approximation anwenden???

---

Ich weiß was eine Approximation ist, aber wir hatten nie eine 'Beste Approximation' in der Schule gehabt. Deswegen weiß ich leider nicht wie ihr dabei vor geht bzw. für was ihr das macht :/

Answer 2

Habt ihr das Kreuzprodukt und die Bedeutung des Kreuzproduktes im Unterricht behandelt? Dann ist folgendes Konzept sehr einfach.

d = ABS(([2, 4, -3] - [2, 1, -1]) ⨯ [-1, 2, 5]) / ABS([-1, 2, 5]) = √2805/15 = 3.530816713

Comments

Kreuzprodukt ist (-7|-11|0)

(2|4|-3)-(7|-11|0) = (-5|15|-3)

(-5|15|-3) / Wurzel((-1)^2 + (2)^2  + 5^2)

Korrigier mich, wenn ich falsch liege.

---

Achtung. Die Differenz ist geklammert. Dein Kreuzprodukt wäre aber ohnehin verkehrt gewesen.

---

Wieso??????????

---

Worauf bezieht sich das wieso?

Auf die geklammerte Differenz oder das falsche Kreuzprodukt?

[2, 1, -1] ⨯ [-1, 2, 5] = [7, -9, 5]

Aber wie gesagt. Dieses Kreuzprodukt war eh nicht zu bilden.

---

Das bezieht sich darauf, wieso man keine Beste Approximation darauf durchführen kann?

---

Wozu eine Approximation? Du hast eine Aufgabe bekommen.

Wenn du 2 * 3 Ausrechnen sollst dann rechnest du doch auch nicht mit einer Approximation. Wann würde man eine Approximation nehmen?

Answer 3

Q= (2,4,-3) von der Geraden G = { (2|1|-1) +t(-1|2|5) } = { (2-t|1+2t|-1+5t) } und den zugehörigen Punkt auf G, der Q am nächsten liegt.

Kann auch als Extremwertaufgabe gelöst werden. So braucht es keine weitergehenden geometrischen Kenntnisse.

Abstand^2 von Q und G ist gemäss Pythagoras:

d^2 = ((2-t) - 2)^2 + (1 + 2t - 4)^2 + (-1 + 5t -(-3))^2 

d^2 ist von t abhängig. Wenn d^2 minimal ist, ist auch d minimal. (Allfälliges negatives Resultat fällt aus geometrischen Gründen weg. 

Also f(t) = d^2(t) nach t ableiten und Nullstelle der Ableitung bestimmen. usw.

Comments

Geht es auch mit einer Approximation?

---

Beschreibe mal ganz genau, was du unter "Approximation" verstehst. Man kann das Ergebnis auf mehrere Arten genau ausrechnen. Daher ist ein ungefähres Resultat (approximiert) nicht interessant.