Untergruppe beweisen.

Question

Ich habe leichte Probleme bei einem Unterthema

Die Definition einer Untergruppe ist:

1) UG nicht leer 

2) a,b ∈ UG, dann auch a*b ∈ UG

3) für a ∈ UG gilt a' ∈ UG

Wie zeige ich für beispielsweise UG {1,-1,2,-2} mit multiplikativer Gruppe (ℕ,*) 

1) ?

2) ist wohl 1*-1=-1 ∈ UG, -1*2=-2 ∈ UG usw. ✓

3) ist 1 ∈ UG, dann auch -1∈ UG? Wenn man a*a' rechnet, muss ja 0 rauskommen, das ist aber hierbei nicht der Fall, da 1*-1=-1 ? 

!

Answer 1

Die Definition einer Untergruppe ist:

1) UG nicht leer

2) a,b ∈ UG, dann auch a*b ∈ UG

3) für a ∈ UG gilt a' ∈ UG

Das ist nicht die Definition einer Untergruppe, das ist ein Kriterium für das Vorliegen einer Untergruppe.

Wie zeige ich für beispielsweise UG {1,-1,2,-2} mit multiplikativer Gruppe (ℕ,*)

Ueberhaupt nicht, da {1,-1,2,-2} ⊄ ℕ. Und obendrauf ist ℕ selber keine Gruppe und auch noch 2 · 2 = 4 ∉ {1,-1,2,-2}.

Wenn man a*a' rechnet, muss ja 0 rauskommen

Wenn man die Gruppe als multiplikative Gruppe ansieht, heisst das neutrale Element 1, nicht 0. Also a * a' = 1.