Parabel in y-Richtung verschieben

Question

Geben sind die Parabeln y=-0.7x²-5.5x+6.625 und y=0.8x²+5x-20. Um wie viel muss eine der beiden Parabeln in y-Richtung verschoben werden, bis sie die andere berührt und bestimmen Sie die x-Koordinate des Berührpunktes?

Answer 1

Hallo emirates,

man mache sich zunächst ein Bild, indem man die Graphen der Funktionen skizziert.

~plot~ -0.7x^2-5.5x+6.625;0.8x^2+5x-20;[[-30|+30|-30|+30]]~plot~

Offensichtlich existieren so zwei Schnittpunkte. Verschiebt man z.B. die zweite Parabel um einen bestimmten Wert \(e\) nach oben, so dass sie sich nur berühren, dann bleibt nur ein gemeinsamer Punkt übrig. D.h. folgende Gleichung:

$$-0,7x^2 - 5,5x + 6,625 = 0,8x^2 + 5x - 20 \colorbox{#ff8080}{+ e}$$

darf nur noch eine Lösung liefern.

$$-1,5x^2 - 10,5x + 26,625 - e = 0 \quad \left| \div (-1,5)\right.$$

$$x^2 + 7x - 17,75 + \frac23 e = 0 $$

$$x_{1,2} = -3,5 \pm \sqrt{ 12,25 + 17,75 - \frac23 e } = -3,5 \pm \sqrt{ 30 - \frac23 e }$$

diese Gleichung hat genau dann nur eine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel zu 0 wird:

$$30 - \frac23 e = 0 \quad \Rightarrow e = 45$$ und dann sieht es so aus:

~plot~ -0.7x^2-5.5x+6.625;0.8x^2+5x-20;[[-30|+30|-30|+30]];0.8x^2+5x-20+45 ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

(0.8·x^2 + 5·x - 20 + d) - (- 0.7·x^2 - 5.5·x + 6.625) = 0

1.5·x^2 + 10.5·x + d - 26.625 = 0

Diskriminante

b^2 - 4·a·c = 10.5^2 - 4·1.5·(d - 26.625) = 0 --> d = 45

Die 2. Funktion muss um 45 Einheiten nach oben verschoben werden.

1.5·x^2 + 10.5·x + 45 - 26.625 = 0 --> x = -3.5

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Vielen Dank für die Schnelle Antwort. Kurz und verständlich. :-) schönes Wochenende noch!