abstand gerade punkt

Question

Abstand Punkt - Gerade:

im internet steht die formel:

also mit Kreuzprodukt quasi.....

funktioniert eigentlich auch für das berechnen

bei mir im mathebuch steht statt dem kreuz ein mal-punkt - d.h. doch eigentlich dass man das skalarprodukt zur berechnung nehmen soll oder???? 

bitte um hilfe - wie man das verstehen soll und ob man jetzt kreuzprodukt oder skalarprodukt zur berechnung nimmt :((

Answer 1

Man nimmt das Kreuzprodukt. 

Der Betrag des Kreuzproduktes ergibt die Fläche eines von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Teilt man die Fläche durch die Grundseite ergibt sich die Höhe und das ist der Abstand des Punktes von der Geraden.

Wenn du die Formel aus dem Buch mal einstellst können wir dir eventuell sagen was dort genau gemacht worden war.

Comments

bei allen drei formeln :((  

bitte erklären!! 

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Wie du siehst geht das bei den Formeln nicht um einen Punkt und eine Gerade im Raum. Sondern entweder um einen Punkt und eine Gerade in einer Ebene oder um einen Punkt und einer Ebene im Raum.

D.h. mit der Ersten Formel kannst du die Abstände von Geraden und Ebenen zum Ursprung bestimmen.

g: ax + by = c

E: ax + by + cz = d

Zu Beachten ist dabei das die Geraden (im R^2) und Ebenen im (R^3) betrachtet werden und eben keine Geraden im R^3.

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okay das hatte ich nicht verstanden wie das gemeint ist - dankeschön! 

also merke ich mir jetzt einfach dass ich die formel nehmen kann wenn ich mir statt dem punkt ein kreuz denke (also kreuzprodukt statt skalarprodukt nehme) ?? weil eine andere formel steht nicht in der formelsammlung. :D  ... oder haben sie noch irgendeinen tipp? weil aufgaben in der klausur sind wenn dann ganz normal abstand punkt-gerade und abstand punkt-ebene

und die dritte formel auf dem bild für 2 windschiefe geraden kann ich ganz normal nehmen?

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Windschiefe Geraden gibt es ja eh nur im raum und nicht in der Ebene. 

Eigentlich betrachtet man in der Koordinatengeometrie fast immer den dreidimensionalen Raum. 

Ich empfehle für die wichtigsten Abstände eine kleine eigene Formelsammlung mit Beispielaufgaben zu machen.

Ich meine mich zu erinnern das das Problem Abstand von einem Punkt zu einer Geraden hier in Hamburg nur auf erhöhten Niveau gemacht werden muss aber nicht auf grundlegendem Niveau.

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also kann ich immer für abstand punkt-gerade die zweite formel nehmen nur statt skalarprodukt kreuzprodukt? und bei abstand punkt ebene geht da diese formel so wie sie dasteht? 

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Ja. Beachte, das in der Formel aber ein Normierter Normalenvektor steht. Das hast du z.b. bei einer Geraden nicht. Da würdest du dann den normierten Richtungsvektor nehmen.

Wie gesagt solltest du dir eine kleine Sammlung mit Aufgaben machen wo du das zumindest einmal durchrechnest.

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danke für die ganzen antworten ...

normierter normalenvektor ist bei einer ebene der normalenvektor mit länge 1 

und bei der gerade einfach richtungsvektor mit länge 1  ?

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Ja genau. Normiert bedeutet nur das ein Vektor durch seine Länge geteilt wurde und damit die Länge 1 hat.

Answer 2

mit Kreuzprodukt bitte ;)

Siehe z.B hier:

https://de.serlo.org/mathe/geometrie/analytische-geometrie/abstaende-winkel/abstaende/abstand-punktes-einer-geraden-berechnen-analytische-geometrie

Da ist auch eine kurze Herleitung.

Answer 3

Ich vermute mal, dass die Formel mit dem Punkt die

Formel für die Länge der Projektion von AP auf die Gerade ist.