Ebene im Raum - 2 Punkte und Achse gegeben

Question

Von den folgenden Ebenen in spezieller Lage ist die Koordinatengleichung gesucht. Die Ebene ist gegeben durch.

A(6/0/1)

B(-1/-2/2)

Dazu ist die z-Achse parallel zur Ebene

Wie komme ich hier möglichst schnell auf die Lösung von 

2x -7y -12 = 0

Answer 1

ich schreibe Vektoren in Zeilenform [x , y, z] 

E || z-Achse   →   Richtungsvektor  \(\vec{u}\) = [0, 0, 1]

Zweiter Richtungsvektor  \(\vec{v}\) = \(\overrightarrow{AB}\) = [-1, -2, 2] - [6, 0, 1]  =  [-7, -2, 1]

Normalenvektor von E   \(\vec{n}\) =  \(\vec{u}\) x \(\vec{v}\)  =  [2, -7, 0] 

E :  \(\vec{n}\) · [x, y, z]  -  \(\vec{n}\) ·  [6, 0, 1]  = 0    ausrechnen, dann hast du die angegebene Koordinatengleichung von E.

Gruß Wolfgang

Comments

Beim Schritt:

Normalenvektor von E  n  =  u  x  v  =  [2, -7, 0]

Wie kommt man da auf  [2, -7, 0]

Das x scheint ja kein Multiplikations Zeichen zu sein.

Was rechnet man da genau in diesem Schritt?

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x  ist das Zeichen für das Kreuzprodukt zweier Vektoren:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

Der Ergebnisvektor von \(\vec{a}\) x  \(\vec{b}\)  steht auf \(\vec{a}\) und auf \(\vec{b}\) senkrecht.

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Kann man das auch ohne das Kreuzprodukt machen, da wir dieses noch nicht hatten?

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Du musst einen Vektor \(\vec{n}\)  finden, der auf  [0, 0, 1]  und auf  [-7, -2, 1]  senkrecht steht. Deren Skalarprodukt mit \(\vec{n}\) muss also jeweils = 0 sein.

\(\vec{n}\) = [a,b,c]

[a,b,c] * [0, 0, 1]  = 0  → c  = 0  

[a, b, 0] * [-7, -2, 1] = 0   ⇔  -7a  - 2b = 0   

Wenn du jetzt z.B  a = 2 und b = -7 wählst, stimmt das.

( du kannst auch ein anders a≠0 nehmen und b passend ausrechnen. Dann erhältst du ein Vielfaches von [2, -7, 0] . Das ist dann auch ein Normalenvektor von E )