wie kann ich die umkehrfunktion und den maximalen definitionsbereich bestimmen?

Question

Wie kann ich die Umkehrfunktion bestimmen?

Answer 1

Hi,

zunächst mal zum maximalen Definitionsbereich.

Der Ausdruck unter der Wurzel wird negativ für \(x \in (\frac{1}{2},2)\) und existiert nicht für \(x=\frac{1}{2}\).

D.h. die Funktion \(f\) ist schon mal nur auf \(D=(-\infty, \frac{1}{2}) \cup [2, \infty)\) definiert.

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, löse \(y=\sqrt{\frac{x-2}{2x-1}}\) nach \(x\) auf. Achte auf deinen Definitionsbereich den du hier für die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) wählst!

Answer 2

im Nenner
2x - 1 gleich 0 ausschließen
x = 1/2
D = ℝ \ 1/2

Der Term in der Wurzel muß positiv sein
plus durch plus
( x - 2 > 0 ) und ( 2x - 1 > 0 )
x > 2 und x > 1/2
Schnittmenge
x > 2

minus durch minus
( x - 2 < 0 )und ( 2x - 1 < 0 )
x < 2 und x < 1/2
Schnittmenge
x < 1/2

D = ( x < 1/2 ) und ( x > 2 )

y = √ [ ( x - 2 ) / ( 2x - 1 ) ]
Umkehrfunktion
x = √ [ ( y - 2 ) / ( 2y - 1 ) ]
y = ( x^2 - 2 ) / ( 2x^2 - 1 )
f ^{-1} = ( x^2 - 2 ) / ( 2x^2 - 1 )