Quadratische Wurzel einer komplexen Zahl

Question

Es geht um die Wurzel einer komplexen Zahl.

$$\sqrt { 3-4i } $$

Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:

$${ Z }^{ 2 }=3-4i$$ daraus folgt, dass 

$$\left| { z }^{ 2 } \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }{ +(-4) }^{ 2 } }=5$$

und das Argument bei ca. -53,14° liegt.

Führt man das weiter aus kommt man letztendlich dazu, dass r=wurzel(5) ist und das Argument phi bei (-53,14)/2.

Nun bekomme ich für a=r.cos(phi)= 2 und für b=r.sin(phi)=-1 raus.

Somit ergibt sich die komplexe Zahl zu Z=2-1i.

Das gleiche Ergebnis schlägt auch WolframAlpha vor, in der Musterlösung steht jedoch -2+1i, was mich nun verunsichtert.

Welches Ergebnis ist nun das richtige?

,

Copex

Comments

Tipp: \((-z)^2=z^2\).

Answer 1

habe das mal auf diesem Weg gerechnet:

2 .Weg:

Answer 2

Ich würde so vorgehen √(3-4i)=a+bi auf beiden Seiten Quadrieren 3-4i=a²-b²+2abi. Dann ist a²-b²=3 und 2ab=-4 und daher b=1 und a=-2. Die Wurzel heißt daher +(-2+i) oder -(-2+i).