Beziehung zwischen Pi und e

Question

Gibt es eine mathematische Beziehung zwischen der Eulerschen Zahl "e" und der Kreiszahl "Pi" ? Oder lässt sich die eine Konstante aus der anderen herleiten ?

Answer 1

Die meisten denken nur an die nicht fertig umgestellte Formel der Eulerschen Identität.

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

ist das §5 Pi = -log(-1)*i = Im(log(-1)) = arg(-1+0i) = -2*atan2(0,-1) = -4*atan(-1)

Dann gibt es zig Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen, die zwar eine Beziehung darstellen, ABER zig mal komplizierter zu berechnen sind, als wenn man gut konvergierende Algorithmen verwendet.

Beispiel Gaußsches Fehlerintegral lautet in Formelschreibweise nach Pi umgestellt:

Pi = ((hyg1F1[-(1/2), 1/2,-1]-1/e)/erf(1))² {hypergeometrische Funktion und erf

(https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion )

Interessant:

Pi = (BesselK(3/2,1)*e)²/2

Pi = 2/(BesselI(3/2,1)*e)²

Pi = (Dawson(1)*e*2/erfi(1))²

Oder die vielen Integralformeln unter §7

Oder die nach e umgestellten: http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

§1: e = exp(1) = e^1 = (-1)^{1/(pi*i)}e = sqrt(pi)*erfi(1)/(Dawson(1)*2)
e = sqrt(2/pi)/BesselI(3/2,1)
e = sqrt(2pi)/BesselK(3/2,1)

Pi=acos((1 + e^{log(5)/2})/4)*5

e = [hygU(1/2,1/2,1/2)/(1-erf(1/sqrt(2)))]²/ Pi

...

Answer 2

Hallo mathedozent,

Ja - es gibt DEN Zusammenhang zwischen \(e\) und \(\pi\):

$$e^{i \cdot \pi} + 1 = 0$$ siehe Euler'sche Identität.

Gruß Werner

Comments

.. und das gaußsche Fehlerintegral hätte ich fast vergessen:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{- \frac12 x^2}\text{d}x = \sqrt{2 \pi}$$

Answer 3

siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel