Nullstellen Bestimmen - e-Funktionen

Question

unzwar weiß ich nicht wie ich die Nullstellen von folgenden Funktionen bestimmen soll 

a) f(x) = e^x • x3 - e^x

b) f(x) = x^2- 2 : e^x-1

c) f(x) = e^3x - 1

d) f(x) = x• e^2x + x^2 • e^2x

e) f(x) = (x^2-4x)•e^-x

f) f(x) = (x^4-x^2-12) • e^x

Answer 1

a)Klammere e^x aus, dann Satz vom Nullprodukt

b) Zähler Null setzen

c)
e^{3x} =1

3x = ln1 =0

x=0

d) Klammere e^{2x} aus, siehe a)

e) Satz vom Nullprodukt

f) wie e) Substituiere x^2 = z

Answer 2

c) f(x) = e^3x - 1 =0 |+1

e^3x  =1 |ln(..)

3x=ln(1) | ln(1)=0

x=0

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a) f(x) = e^x • x^3 - e^x =0 ->e^x ausklammern

e^x(x^3-1)=0 ->Satz vom Nullprodukt

1) e^x=0 ->keine Lösung

2) x^3-1=0 |+1

x^3=1

x_1.2.3=1 

Answer 3

a) Man kann das e^x ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden. Die Exponentialfunktion ist ungleich Null. 

b) Die Nullstellen eines Bruches sind gleich die Nullstellen des Zählers. 

c) Wir setzen y := e^x und bekommen dann die Gleichung y³ - 1 = 0. Die berechnen die Nullstellen dieser Gleichung und setzen diese dann in der Gleichung e^x = y und berechnen die Werte von x. 

d) Man kann das e^2x ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden. 

e) Hier wenden man den Satz vom Nullprodukt anwenden. Die Exponentialfunktion ist ungleich Null, somit muss die Klammer gleich Null sein. Hier kann man ein x ausklammern und erneut den Satz vom Nullprodukt anwenden. 

f) Hier wenden man den Satz vom Nullprodukt anwenden. Die Exponentialfunktion ist ungleich Null, somit muss die Klammer gleich Null sein. Wir setzen y = x² und somit wird der Ausdruck in der Klammer y² - y - 12, die Nullstellen dieser Funktion kann man mit Hilfe der Mitternachts- oder der pq-Formel berechnen. Dann setzen wir die berechnete Werte in x² = y und berechnen die Werte für x. 

Answer 4

zu f)

~plot~ (x) = (x^{4}-x^{2}-12) *e^{x} ~plot~

(x^{4}-x^{2}-12) * e^{x}=0

e^x=0

Also haben wir:

x^4-x^2-12=0

Hier substituieren wir x^2=z daraus folgern wir:

z^2-z-12=0

Jetzt können wir die Mitternachtsformel oder PQ-Formel verwenden.

z₁=3

z₂=-4

Jetzt müssen wir rücksubstituieren:

x^2=z also ist x=±√z

x_1,2=±√4

x_1,2=±2

z₂ hat keine Lösungen, da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann

LG

Answer 5

a) f(x) = e^x·x^3 - e^x = 0
e^x·(x^3 - 1) = 0
x^3 - 1 = 0
x^3 = 1
x = 1

b) f(x) = (x^2 - 2)/(e^x - 1) = 0
x^2 - 2 = 0
x^2 = 2
x = ± √2

c) f(x) = e^{3·x} - 1 = 0
e^{3·x} - 1 = 0
e^{3·x} = 1
3·x = LN(1) = 0
x = 0

d) f(x) = x·e^{2·x} + x^2·e^{2·x} = 0
e^{2·x}·x·(x + 1) = 0
x = 0
x + 1 = 0
x = - 1

e) f(x) = e^{-x}·(x^2 - 4·x) = 0
x^2 - 4·x = 0
x·(x - 4) = 0
x = 0
x - 4 = 0 --> x = 4

f) f(x) = e^x·(x^4 - x^2 - 12) = 0
x^4 - x^2 - 12 = 0
z^2 - z - 12 = 0
(z + 3)·(z - 4) = 0
z = - 3 --> x = ---
z = 4 --> x = ± 2