Wie bestimme ich, ob ein Extrema ein Tiefpunkt, Hochpunkt oder Sattelpunkt ist?

Question

Diese Frage soll eher experimental sein. Sagen wir mal ich habe folgende Funktion gegeben. 

f(x) = -x^3 + 3x + 2 

Davon möchte ich die Extrema. 

f‘(x) = -3x^2 + 3 

0 = -3x^2 + 3 

x1 = 1 und x2 = -1 

Jetzt habe ich potenzielle Extrema und müsste normalerweise mit f‘‘(x) überprüfen was ich für Extrema habe. 

Es gilt ja : Vorzeichenwechsel (-) => (+) = TP

(+) => (-) => HP und (-) => (-) Sattelpunkt usw. 

Jetzt habe ich ja die Extrema gegeben. Könnte ich nicht durch die Monotonie bestimmen um was es sich für Extrema handeln ? 

f‘(-2) = -3*(-2)^2+3 = -3*4+3 = -12+3 = -9 < 0 

f‘(0,5) = -3*(0,5)^2 + 3 = 2,25 > 0 

Also muss es sich hierbei um ein TP bei x = -1 handeln. Könnte diese Methode gehen und warum nutzt man die dann nicht?

LG 

Answer 1

Du kannst auch rechts und links Werte ausrechnen.

[-2, 4;
-1, 0; TP(-1 | 0), weil links und rechts höhere Werte sind
0, 2;
1, 4; HP(1 | 4), weil links und rechts kleinere Werte sind
2, 0]

Ich finde VZW-Kriterium am schönsten

-3x^2 + 3 hat einen Vorzeichenverlauf von - nach + nach -

Bei -1 VZW von - nach + --> Tiefpunkt

Bei +1 VZW von + nach - --> Hochpunkt

Und wie gesagt kannst du es auch über die Monotonie machen.

Frag mal Euren Lehrer warum Ihr andere Sachen nicht benutzt.

Comments

Da liegt ja auch der Punkt. Warum hat sich denn dieses f‘‘(x) > < 0 so fest eingebürgert ? Kann auch sein das ich grade auf Eis treibe. Ich meine es gibt Funktionen, die möchte man nur einmal ableiten. 

Answer 2

   Du bist ein schönes Beispiel, mit was für einem Stuss dich deine Lehrer angefüllt haben; stell dir vor, ich wäre dein Fußballtrainer. Stets hat die Kurvendiskussion ( KD ) mit dem WP zu beginnen; den hast du sofort; und eine 2. Ableitung braucht ' s dafür gleich gar nicht. Du musst allerdings ausgehen von der Normalform; und du hast ja diesen Vorzeichendreher.

     F  (  x  )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0         (  1a  )

                       a2  =  0  ;  a1  =  (  -  3  )  ;  a0  =  (  -  2  )           (  1b  )

     Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel  ( FRS )

      x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  0        (  2  )

     Nochmal FRS 

     " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.  Sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "

     Von Daher ist auf einmal klar, dass in deinem Fall dieses Symmetriezentrum nur um zwei Einheiten aus dem Ursprung nach Oben verschoben ist. Nochmal FRS

   " Ein Polynom 3.Grades, das Extrema besitzt, hat immer genau ein Minimum und ein Maximum. "

   Dann folgen aber aus der Punktsymmetrie unmittelbar die beiden Identitäten

       x  (  w  )  =  1/2  [  x  (  max  )  +  x  (  min  )  ]          (  3a  )

      f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  max  )  +  f  (  min  )  ]            (  3b  )

   In deinem Fall sieht man ja unmittelbar, dass ( 3a ) erfüllt ist.

   Nun hast du aber folgende Asymptotik:  Ein Polynom mit negativem ===> Leitkoeffizienten wie deines geht für x ===>  ( + °°  ) gegen Minus Unendlich;  bei allen derartigen Polynomen ist daher stets das RECHTESTE Extremum ein MAXIMUM .