Zensurenverteilung Anzahl Möglichkeiten

Question

Hallo :]

Ich lasse meine Schüler schätzen, wie die Leistungspunktverteilung ihrer Klassenarbeit ausgefallen ist.

Gern würde ich wissen, wie viele Möglichkeiten der Leistungspunktverteilung es gibt:

24 Schüler schreiben die Klassenarbeit. Sie können je 00-15 Leistungspunkte (LP), auch Notenpunkte genannt erreichen.

Meine Zählung beginnt mit "Alle haben 15 LP" und endet mit "Alle haben 00 LP".

Leider bin ich zu faul, die Strichliste für alle dazwischen liegenden Varianten zu malen.

;]

Massenhaft Dank!

Answer 1

Ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

n = 16 (0 bis 15 Notenpunkte)
k = 24 (Schüler)

(n + k - 1 über k) = (16 + 24 - 1 über 24) = (39 über 24) = 25140840660 = 25.14·10^9

Damit gibt es ca. 25 Milliarden Möglichkeiten.

Comments

Danke

Dann kann ich mir die Aktion also wie folgt vorstellen:

In einer Urne sind 16 verschiedene Kugeln (00, 01, ..., 15). Ich ziehe 24 mal und lege die Kugel je wieder zurück. Daraus ergäben sich 16x16x...x16, mithin 16^24 Möglichkeiten ...

... daraus ergeben sich aber ein paar mehr als 118.755. *hmhmhm*

Gern würde ich wissen, wie und warum die Rechnung mit dem Ergebnis 118.775 funktioniert udn wie man sich das bildhaft dar-/vorstellen kann.

Nochmals Dank vorab! :]

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Ich hatte geschrieben

Ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Damit ist die Formel n^k aus dem Rennen.

Reduziere das Problem. Du hast 3 Schüler und die Notenpunkte von 1-6.

Wie viele Verteilungen gibt es jetzt?

Die Verteilung

1 2 3 sei identisch mit 2 1 3

Weil die Zuordnung der Noten zu den Schülern irrelevant ist.

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Nochmals Dank.

Leider ist es mir mit allen unter dem Suchbegriff "Ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" zu findenden Formeln nicht gelungen, 118.755 auszurechnen. Meine Ergebnisse sind immer viel größer.

Nochmal das Problem: In einer Urne sind 16 verschiedene Kugeln (Notenpunktwerte 00-15). Daraus wird 24 mal eine Kugel gezogen und je sogleich wieder zurück gelegt. Wie viele Verteilmöglichkeiten - Kombinationen (?) - gibt es?

Bitte schreiben Sie mir, welche Formel Sie benutzt haben. Und noch besser: Was muß ich in den Taschenrechner eintippen?

... bin Lehrer für Kunst und Politik ... meine Mathefähigkeiten sind daher eher weniger ausgeprägt.

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Welche Formel nimmst du denn?

So viele gibt es da doch nicht oder?

https://de.wikipedia.org/wiki/Abzählende_Kombinatorik#Anzahlen

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Habe keine Strichliste geführt. 10 verschiedene waren es bestimmt.

Am plausibelsten erschien mir:

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Die Formel ist richtig.

n = 16

k = 24

((n über k)) = (n + k - 1 über k)

((16 über 24)) = (16 + 24 - 1 über 24) = (39 über 24) = 39[nCr]24 = 25140840660

Ops. Peinlich. Ich hatte in meiner ursprünglichen Rechnung einen Fehler drin und habe 29 statt 39 getippt. Ich verbessere das oben

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Die Zahl habe ich auch ausgerechnet. :]

Daß das richtig ist, nehme ich mal an, weil ich überzeugt bin, daß

- irgendwer irgendwann die obige Formel mal anerkannt mathematisch bewiesen hat und

- irgendwer den Beweis geprüft hat, indem er von einem Computer alle Möglichkeiten hat herstellen und zählen lassen.

Nur wie kann man seinem (einem) Hirn begreiflich / plausibel machen, dass das SO viele (Milliarden!) sind?

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Vielleicht hilft folgende Überlegung, wenn sie denn richtig ist.

In der Urne befinden sich von jeder Art Kugel (nummeriert mit 00, 01, .. 15) jeweils 24 Stück, mithin 16*24 = 384 Kugeln.

Es werden für einen Ziehungsdurchgang nacheinander 24 Kugeln gezogen, OHNE die gezogenen Kugeln zurück zu legen.

Die Anzahl der möglichen Ziehungsdurchgangs-Ergebnisse müßte also auch 25140840660 betragen.

Wie sähe diese Rechnung aus?

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"In der Urne befinden sich von jeder Art Kugel (nummeriert mit 00, 01, .. 15) jeweils 24 Stück, mithin 16*24 = 384 Kugeln."

Das ist so leider verkehrt.

Am besten ist es mit einer Strichliste begreiflich zu machen

Punkte	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
				*	**	*	**	**	***	****	**	***	*	**	*

Das könnte als Liste eventuell so geschrieben werten

|||*|**|*|**|**|***|****|**|***|*|**|*|

Dabei trennt das | einfach die Notenbereiche. Die Sterne stehen für die Anzahl solcher Notenpunkte.

Nun gibt es (15 + 24)! / (15! * 24!) = 25140840660 verschiedene Möglichkeiten diese Liste zu schreiben. Jede Möglichkeit steht dabei für eine andere Verteilung.