Geburtstagsproblem stochastik

Question

23 Personen werden zufällig ausgewählt . Wie ist die Chance dass unter diesen mindestens 2 sind, die am gleichen tag geburstag haben ?

 

Wieso gilt :

 

1      -    (365 * 364 * 363 .........343 /   365²³ )           ≈    0.5073

 

Bitte erklärt mir das genau

Answer 1

Man berechnet das die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, dass alle Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben.

Für die erste Person gibt es noch 365 Möglichkeiten (alle Tage), also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie an einem dieser Tage Geburtstag hat, \(\frac{365}{365}.\)

Für die zweite Person sind dann noch 364 Tage übrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person an einem dieser Tage Geburtstag hat, ist \(\frac{364}{365}.\)

usw...

Für die 23. Person sind dann noch 343 Tage übrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person an einem dieser Tage Geburtstag hat, ist \(\frac{343}{365}.\)

Multipliziert ist das dann \(\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \cdots \cdot \frac{343}{365}=\frac{365\cdot 364\cdot \cdots \cdot 343}{365^23}\)

Weil das ja das Gegenereignis ist, muss man dann diese Wahrscheinlichkeit noch von 1 subtrahieren.