Integral Rechnung für zwei weitere Aufgaben

Question

Ich hatte jetzt gehofft, das Thema Integrale verstanden zu haben, aber unser Lehrer schafft es trotzdem noch :-)

Ich verstehe noch 2 Aufgaben nicht: Einmal diese hier:

Gesucht ist diejenige Stammfunktion F, die an der Stelle a den Funktionswert 0 (-1; 2; 5) hat.

f(x)= x³-4x, a=-3

Und diese hier: Bestimme Wende- und Extrempunkte der Integralfunktion I.

I (Null) von (x); f(t)=t-1

Kann mir nochmal jemand helfen?

Answer 1

f(x)= x³-4x, a=-3
Stammfunktion
F ( x ) = x^4 / 4 - 4 * x^2 / 2
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2
F ( a ) = a^4 / 4 - 2 * a^2

a^4 / 4 - 2 * a^2 = 0
Ersetzen
a^2 = z
z^2 - 2*z = 0
Satz vom Nullprodukt
z * ( z - 2 ) = 0
z = 0
und
z - 2 = 0
z = 2
Rückersetzen
z = a^2 = 0
a = 0
z = a^2 = 2
a = ±√ 2

Weiter Berechnungen
a^4 / 4 - 2 * a^2 = -1
a^4 / 4 - 2 * a^2 = 2
a^4 / 4 - 2 * a^2 = 5

I (Null) von (x); f(t)=t-1
Stimmt das ?
Wo kommt das x vor ?
Bitte den Origilnafragetext oder ein
Foto einstellen.

Comments

Die Aufgabe geht doch anders
f(x)= x³-4x, a=-3
Stammfunktionen
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2  + C

Gesucht ist diejenige Stammfunktion F, die an der
Stelle a den Funktionswert 0 (-1; 2; 5) hat.
F ( -3 ) =  (-3)^4 / 4 - 2 * (-3)^2  + C = 0

81 / 4 - 18 + C = 0
9 / 4 + C = 0
C = - 9 / 4
F ( x ) = x^4 / 4 - 2 * x^2  - 9 /4

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Dankeschön"

Das wäre die Aufgabe dazu.

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Die Aufgabe kann ich leider nicht deuten.

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Da sind wir schön zwei :)

Trotzdem vielen Dank fürs Bemühen !

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Vielleicht hat jemand anders im Forum
eine Antwort.

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$$\int_u^xf(t)\text{d}t$$soll untersucht werden.

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Aber in der Gleichung kommt doch gar kein u vor ???

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Aber in der Gleichung kommt doch gar kein u vor ???

Das u habe ich benutzt, weil ich den Index von \(I_?\) auf deinem Foto nicht entziffern konnte. Ersetze es bei Bedarf, darauf kommt es ohnehin nicht an!

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Folgende Vereinbarung dürfte euch bei der Deutung helfen:

I_a(x) = ∫ (a bis x) f(t) dt

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Die Aufgabe bedeutet dann in der üblichen
Notation

∫ t -1 dt zwischen 0 und x
Stammfunktion
S ( t ) = t^2 / 2 - t
sodann
I ( x ) = [ S ( t )] zwischen 0 und x
I ( x ) = x^2 / 2 - x - ( 0 ^2 / 2 - 0 )
I ( x ) = x^2 / 2 - x

Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = 2 * x - 1
Stelle mit waagerechter Tangente
2 * x - 1 = 0
x = 1/2
I ´´( x ) = 2
Die Funktion hätte keinen Wendepunkt
mit I ´´ ( x ) = 0

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Ach super.

Ja das wär dann die Lösung, stimmt. Ich konnte einfach nichts mit dieser komischen Angabe anfangen :)

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I ( x ) = x2 / 2 - x

Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = 2 * x - 1

In der Ableitung ist der Faktor 2 verkehrt. Es sollte gelten

Ia'(x) = f(x)

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Korrektur
Jetzt eine normale Kurvendiskussion durchführen
I ´( x ) = x - 1
Stelle mit waagerechter Tangente
x - 1 = 0
x = 1
I ´´(  x ) = 1
Die Funktion hätte keinen Wendepunkt
mit I ´´ ( x ) = 0

Ich konnte einfach nichts mit dieser
komischen Angabe anfangen :)
Die Notation ist noch aus den 50er Jahren.

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Die Notation ist noch aus den 50er Jahren.

Die steht noch in aktuellen Mathebüchern (z.B. Lambacher Schweizer) nach denen gelehrt wird.

https://www.youtube.com/watch?v=DyD2Ro7K2DQ

Wobei das im Video etwas schlecht ist. Zum einen wird x als Grenze des Integrals und als Integrationsvariable genutzt. Meist wird es gehandhabt das wenn x eine Integrationsgrenze ist, dass dann als Variable der Funktion t genutzt wird.

Zum anderen wird hier als Integralfunktion groß J statt groß I genommen. Aber letztlich sind das nur Feinheiten.

Answer 2

Eine Stammfunktion von f ist F(x)= 1/4 x⁴ - 2x². Überprüfe das indem du F'(x) bestimmst.

Eine weitere Stammfunktion von f ist F₅(x)= 1/4 x⁴ - 2x² + 5. Überprüfe auch das indem du F₅'(x) bestimmst.

Jede Stammfunktion von f hat die Form F_c(x)= 1/4 x⁴ - 2x² + c, wobei c jede relle Zahl sein darf. In obigen Beispielen ist c = 0 bzw. c = 5.

Bestimme c, so dass F_c(a) = 0 (F_c(a)=-1, F_c(a)=2, F_c(a)=5) ist.