Du hast dich glaub ich verschrieben; wolltest du nicht fragen
<< Wieso nimmt man hier
<< Logaritmus zur BASIS 10
<< ( dekadischen Logaritmus )
<< und bei einigen Aufgaben, wenn man 2 hat
<< Logaritmus zur Basis 2
<< binären oder dyadischen Logaritmus?
Als Erstes musst du verstehen, in welchem Film dass du bist. Darf i h dich an die allgemeinen logaritmischen Rechengesetze erinnern, dass die Rechenstufe immer um eins vermindert wird. Für Formelsammlung, Regelheft und Spockzettel ( FRS )
log ( x y ) = log ( x ) + log ( y ) ( 2.1a )
Aus einer Multiplikation machen Logaritmen demnach eine Additon; 37.45 X 197.4 kannst du ( auch schriftöich ) nicht rechnen. Dagegen eine Addition ( auch noch von 12-stelligen ) Zahlen ist machbar; du schlägst also die Logaritmen der beiden Faktoren in der Tafel nach und addierst sie ...
Noch wichtiger: aus der ( völlig unmöglichen ) DIVISIONsaufgabe 345.6 : 2.785 wird eine popelige SUBTRAKTION - das kannste dir ja mal überlegen. Es folgt unmittelbar aus ( 2.1a )
Aus Rechenarten der " 2. Etage " ( Multiplikation und Division ) macht Logaritmus solche der ersten Etage ( Addition und Subtraktion )
Aber wir wenden uns jetzt dem zweiten fundamentalen Logaritmengesetz zu:
log ( x ^ y ) = y log ( x ) ( 2.1b )
Potenzen sind praktisch eine Rechenart der 3. Etage; und daraus wird jetzt eine Multiplikation ( 2. Etage )
Sag doch selbst. Welche Möglichkeit hätte ein Schüler von Kl. 10 ohne Logtafel gehabt auszurechnen, was " Pi Hoch Pi " gibt?
Hier brauche ich Identität ( 2.1b ) aber zu einem anderen Zweck. Stell dir vor du sollst Gleichung ( 2.2a ) auflösen nach der Unbekannten x :
a ^ x = b | log ( 2.2a )
log ( b )
x = --------------------- ( 2.2b )
log ( a )
In ( 2.2ab ) wurde nämlich genau das Gesetz ( 2.1b ) benutzt.
Nun darfst du mit einer Gleichung machen, was du willst - so fern du es auf beiden Seiten gleichzeitig machst; auch Logaritmieren. Ich habe jetzt bewusst nicht vermerkt, zu welcher Basis der Logaritmus genommen werden soll. Aber eines steht doch unumstößlich fest: Egal zu welcher Basis du den Logaritmus nimmst - in ( 2.2b ) muss doch immer das selbe x raus kommen. Aber das heißt doch: - wieder für FRS
" Der QUOTIENT aus zwei Logaritmen IST BASIS UNABHÄNGIG .
Alle LOGARITMENSYSTEME sind zueinander PROPORTIONAL . "
Haste auch noch nicht gewusst; was? Ich sag ' s ja; ihr lernt auch nur Schrott in der Schule ...
Ich weiß auch aus anderen Antworten, wie schwer es euch Schülern fällt, in Proportionen zu denken. Dabei sind Proportionen weit wichtiger als absolute Maße.
Das führt dann beispielsweise dazu, dass ein Knabe durchaus in der Lage ist auszurechnen, wie viel cm ³ Volumen dass eine Kugel von 1 cm oder 2 cm Durchmesser hat. Wenn er aber die Frage beantworten soll
" Um WIE VIEL vergrößert sich das Volumen, wenn ich den Radius verdopple? "
dann wendet er sich Hilfe suchend an das Forum. Weil das ist ihm viel zu abstrakt; er hat ja keinen konkreten Radius gegeben ...
Genau so hier. Um einmal eine Szene aus der Sesamstraße zu zitieren. Wenn alle Logaritmensysteme zu verschiedener Basis proportional sind. Dann unterscheiden sie sich nur in so weit, wie sich die goldene Kugel der Königstochter aus dem " Froschkönig " vom Mond unterscheidet, der ja schließlich auch eine Kugel ist ...
Da du verworren bist, führ ich dir nochmal ganz ausführlich vor, wie man Gl. ( 1^.1 ) löst
x ^ lg ( x ) = 10 | lg ( 1.1 )
Was ist die Idee? Ich lasse mich leiten von dem Logaritmmengesetz ( 2.1b )
log ( u ^ v ) = v log ( u ) ( 2.1b )
" Multiplikation geht einfacher wie diese gefic kten Potenzen; vielleicht kann ich ja was ausrichten. "
In ( 2.1b ) habe ich für die beiden Unbestimmten absichtlich u und v verwendet, damit du das nicht verwechselst mit der Unbekannten x aus ( 1.1 )
Jetzt hatten wir gesagt: An sich ist ja egal, zu welcher Basis du logaritmierst. Bloß die Unbekannte kommt in der Gleichung als ZEHNERlogaritmus vor. Ich geb's ja zu; wäre es Logaritmus zu der ( Kommazahl ! ) Basis 4.711 , so würde man erst mal das nehmen. Ich zeig dir erst mal, wie man mit Zehnerlogaritus zu Rande kommt; und hernach führe ich auf ausdrücklichen Wunsch eines einzelnen Herrn nochmal die umständliche Rechnung durch.
Was ist jetzt u und was v in ( 1.1 ) ?
u = x ; v = lg ( x ) ( 2.3a )
lg ( x ) * lg ( x ) = lg ( 10 ) = 1 ( 2.3b )
Den Rest kannste glaub ich alleine. Jetzt wollen wir aber mal experimentieren: Was passiert, wenn du beliebigen Logaritmus zur beliebigen Basis b nimmst? Zehnerlogaritmus möge jetzt immer " lg " heißen ( " Ludwig Gustav " ) während die Abkürzung " log " steht für beliebige Basis b . Dann wäre auf einmal in ( 1.1 )
log ( x ) * lg ( x ) = log ( 10 ) ( 2.4 )
Was tun sprach Zeus? Irgendwie müssen wir die beiden Logaritmensysteme angleichen, so wie du ja auch entweder Zoll in cm umrechnen musst oder cm in Zoll.
Die Log zu Zehnerlogaritmen machen? Das hatten wir oben schon. Wandeln wir " lg ( x ) " um in " log ( x ) " Dazu erinnern wir uns an ( 2.2b )
lg ( x ) log ( x )
-------------------------- = ------------- ( 2.5a )
lg ( 10 ) ( = 1 ) log ( 10 )
log ( x )
lg ( x ) = --------------- ( 2.5b )
log ( 10 )
( 2.5b ) eonsetzen in ( 2.4 )
log ² ( x ) = log ² ( 10 ) | sqr ( 2.6a )
log ( x ) = Log ( 10 ) ( 2.6b )
" Wenn der Logaritmus einer Zahl gleich dem Logaritmus von 10 ist, dann IST diese Zahl gleich 10. "
Also es geht schon; es ist nur etwas umständlich.
Aber vielleicht ist es gerade für Anfänger wichtig, das allgemeine Prinzip dahinter zu verstehen.
