Ich selbst habe eine vollständige Kategorienlehre der biquadratischen Gleichung ( BQG ) vorgelegt; daher kann ich sagen: Das Standardverfahren, das der große Löwe hier vorstellt, ist naiv; es erinnert stark an die Versuche kleiner Kinder, sich den Anorak auszuziehen, indem sie sich ständig im Kreis drehen.
Normaler Weise, wenn du eine komplexe Zahl in Realteil a und Imagteil b zerlegst, hoffst du ein LGS zu erhalten. Dagegen der Leo setzt umständlich für b ein und wird auf eine BQG geführt in a mit q < 0 . Kategorie q < 0 ist aber notwendig und hinreichend für ein reelles und ein rein imag Wurzelpärchen.
Wir erinnern uns; a soll den Realteil bedeuten; wie kann denn der Realteil imaginär sein? Die völlig abgedrehte Symmetrie, die dieser Gleichung zu Grunde liegt, ist ungefähr
z = a + b i = 3 + 4 i ; a = 3 ; b = 4 ( 1a )
z = a + b i = ; a = 4 i ; b = ( - 3 i ) ( 1b )
D.h. wenn du Leos Gleichung löst, bekommst du die selbe komplexe Wurzel gleich doppelt serviert; nur in der Form ( 1b ) ist ihr Realteil rein imaginär und ihr Imagteil reell ...
Dem stelle ich zwei Lösungsvorschläge gegenüber; gegenüber; einen völlig unkonventionellen Marke Eigenbau so wie einen mehr konventionellen.
Mein Ausgangspunkt ist eine Linearkombination, die dich stark an die Mitternachtsformel ( MF ) erinnern wird:
z0 := ß + µ q ^ 1/2 ; ß , µ , q € |Q ( 2a )
z0 möge " verallgemeinerte Wurzel " heißen. In deinem Falle ist ß = 3 , µ = 4 so wie q = ( - 1 ) Wir wollen nunmehr aus ( 2a ) die Wurzel ziehen:
z0 =: x0 ² ( 2b )
x0 =: ß1 + µ1 q ^ 1/2 ( 2c )
Wir streben demnach für x0 eine zu z0 analoge Darstellung an; wann immer das möglich ist, bezeichne ich x0 als " Wurzelwurzel " ( W W ) eben die Wurzel aus der Wurzel.
Das Problem, so wie es in ( 2a-c ) formuliert wurde, ist auch viel abstrakter als komplexe Zahlen. q könnte ja auch 2 sein oder 4 711. Nur eben; bei rein reellen Wurzeln ist man leichter geneigt, einen Wurzelhaken drüber zu machen; es gibt ja TR ...
Einen gewissen Wert lege ich schon darauf, dass q ^ 1/2 irrational, obwohl sich mein Algoritmus auch sonst ganz hervor ragend schlägt. Übrigens; vom Standpunkt der ===> Galoisteorie sind komplexe Zahlen mit nicht verschwindendem Imagteil den üblichen irrationalen Zahlen gleich gestellt ( stimmt ja auch; sie liegen nicht in |Q )
Man mus auch manchmal das richtige Feeling für Symmetrie mitbringen; ich führe jetzt die zu z0 konjugierte Wurzel ein
z0 * := ß - µ q ^ 1/2 ( 3a )
Für q = ( - 1 ) entspricht dies tatsächlich dem komplex Konjugierten. aber ich mein das jetzt viel allgemeiner so wie " Plus / Minus wurzel "
Mein Lieblingsgang ist der Rückwärtsgang; ab Jetzt legen wir den Rückwärtsgang ein. Wir fragen nicht nach den Wurzeln eines Polynoms, sondern nach jener QG , deren Wurzeln ( 2a;3a ) sind; Vieta das geschmähte Stiefkind
z ² - p z + q = 0 ( 3b )
p = z0 + z0 * = 2 Re ( z0 ) = 6 ( 3c )
q = z0 z0 * = | z0 | ² = 25 ( 3d )
z ² - 6 z + 25 = 0 ( 3e )
Im nächsten Schritt substituieren wir ( 2b )
x ^ 4 - p x ² + q = 0 ( 4a )
Aber was soll uns das bringen? Das wird dir sofort klar, so bald wir x0 , also die gesuchte W W , auch in den Vieta ( 3cd ) einfüttern.
p = x0 ² + x0 * ² = 6 ( 4b )
u ² := q ===> u = x0 x0 * = 5 ( 4c )
Klar ist: Will ich ( 4a ) lösen, so muss ich zwei Mal die Wurzel ziehen; und in ( 4c ) ist dies erstmals geschehen.
Und in ( 4bc ) arbeitet erstmals in der Geschichte der Menschheit die MF mit Vieta zusammen. ( 4c ) ist nämlich genau die quadratische Ergänzung von ( 4b ) ; siehst du das?
( x0 + x0 * ) ² = p + 2 u = 6 + 2 * 5 = 16 ( 5a )
x0 + x0 * = 4 = Realteil ( 5b )
( x0 - x0 * ) ² = p - 2 u = ( - 4 ) ( 5c )
x0 - x0 * = 2 i = Imagteil ( 5d )
Was zu lösen bleibt, ist das LGS ( 5bd )
x0 = 2 + i ( 6 )
Dieser ersten Metode stelle ich jetzt ein konventionelles Verfahren gegenüber, das allemal eher einleuchtet als das Standardverfahren - obgleich es bis Heute nicht den Weg in die Lehrbücher gefunden hat. Was ich jetzt voraus setze, ist nur komplexe Geometrie.
| z0 | = 5 ===> | x0 | = sqr ( 5 ) ( 7a )
Und jetzt den Phasenwinkel
exp ( i ß ) = cos ( ß ) + i sin ( ß ) ( 7b )
exp ( i ß / 2 ) = cos ( ß/2 ) + i sin ( ß/2 ) | ² ( 7c )
exp ( i ß ) = cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) + 2 i sin ( ß/2 ) cos ( ß/2 ) ( 7d )
Aus dem Koeffizientenvergleich zwischen ( 7b;d ) ergeben sich die Additionsteoreme.
cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) = cos ( ß ) = 3/5 ( 8a )
cos ² ( ß/2 ) + sin ² ( ß/2 ) = 1 ( 8b )
Auch hier ist wieder ein LGS zu lösen
cos ( ß/2 ) = 2 / sqr ( 5 ) ( 9a )
sin ( ß/2 ) = 1 / sqr ( 5 ) ( 9b )
Offensichtlicher Nachteil dieses Verfahrens; du schleppst dich mit diesem irrationalen 5 ^ 1/2 , das bei mir gar nicht vorkommt.
