Question

Ganzrationale Funktionen

Stimmt das, dass die Graphen von zwei verschiedenen  Potzenfunktionen genau zwei Schnittpunkte haben?

Answer 1

Wenn Potenzfunktionen z.B. so definiert sind.

f(x) = a * x^n

g(x) = b*x^m

Dann setze f und g gleich und schaue mal.

Annahme a, b, n, m alle ≠ 0 und n > m.

a * x^n = b * x^m        | - b*x^m

a * x^n - b * x^m = 0 | x^m ausklammern

( a * x^{n-m} - b ) * x^m = 0

1. Lösung

x^m = 0 . Also x = 0.

2. Lösung a * x^{n-m} = b

x^{n-m} = b/a       | ^{n-m}√...

x = ^{n-m}√(b/a) 

Kann sein, dass du noch andere Fälle anschauen musst. Du kannst aber jedes mal ähnlich rechnen.

Kann auch sein, dass du a = b = 1 voraussetzen darfst. Dann ist die Rechnung etwas einfacher.

Answer 2

Nein, sie haben alle den Punkt (0|1) und keinen weiteren gemeinsamen, wenn f(x)=a^x eine Potenzfunktion ist.

Comments

f(x) = a^x ist eine Exponentialfunktion.

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Danke für die Aufklärung. Ich kenne den Begriff "Potenzfuktion" offenbar nicht. Ist es f(x)=xⁿ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

Gibt an f(x) = a * x^r , bzw. f(x) = a * x^n.

Wenn diese Frage unter dem Thema ganzrationale Funktionen läuft, dürfte die 2. Definition gemeint sein mit n>0.

Answer 3

    Fallunterscheidung.  Ach übrigens;  welche Berufsaussichten hast du mit dem Mathe Abschluss?  Nur die aller besten. Nicht etwa, weil du gelernt hätteest, etwas zu beweisen -    das überlass mal dem Staatsanwalt und dem Herrn Kommissar.

   Nein;  bei sämtlichen Personalabteilungen hat sich herum gesprochen, dass du FALLUNTERSCHEIDUNG  kannst.

    Weiß ich aus dem Telekolleg; und mein Chef hat das auch immer  gesagt. (   Mich den popeligen Physiker strafte er immer  ab, ich  würde mir nie überlegen, was zu geschehen hat, wenn ein Job  in unserem Abteilungscomputer abstürzt. )

   x  ^   m  =  x  ^  n          (  1  )

    Fall 1;    n  =  m  .  Beide Funktionen sind identisch;  (  überabzählbar ) unendlich viele Lösungen.

   Fall 2 ;  n  <  m      (  2  )

       x  ^   n  [  x  ^   (  m  -  n  )  -  1  ]  =  0   (  3  ) 

    Damit haben wir erst mal eine  n-fache Nullstelle

   sonderfall 3 :  n  =  0  ,  1  ,  2  ,  ...

   Im Falle n = 0   hast du bei x = 0 keinen Schnittpunkt.

      z  :=   m  -  n      (  4a  )

      x  ^  z  =  1     (  4b  )

       Fall 4 :  z ungerade   ===>  x  =  1       (  4c  )

       Fall 5 :  z1;2  =  (  -/+  1  )   sonst       (  4d  )