Ungleichung im Komplexen beweisen: |f(b)−f(a)|≤(sup_(z∈Sp(γ))|f′(z)|*|b-a| wobei Sp(γ) =γ([a,b]) ist.

Question

Ich habe die folgende Aufgabe in Analysis 4

Sei D ⊆ C offen und f: D→C holomorph.

i) Beweisen Sie für alle a,b∈D, mit a≠ b, die durch eine stückweise C1-Kurve γ: [α,β]→D verbunden werden, die Ungleichung

   |f(b)−f(a)|≤(sup _z∈Sp(γ)|f′(z)|*|b-a|

   wobei Sp(γ) =γ([a,b]) ist.

(ii)Sei D ⊆C ein Gebiet und f:D→R holomorph. Zeigen Sie, dass f konstant ist

Kann mir jemand sagen, wie ich bei diesen Beweisen vorgehen muss?

Answer 1

  Die ii) ist schick; selbst eine alte Kuh lernt doch immer noch dazu.

   u wie üblich Realteil, v Imagteil.  Dann soll gelten v = 0 .  Cauchy-Riemann DGL

        u_x  =  v_y  =  0  ===>  u  =  const  wzbw    (  1  )

Comments

  Zufällig bin ich nochmal hier;  Mittelwertsatz

      (E)  x0  |  f  ( b  )  -  f  (  a  )  =  (  b  -  a  )  f  '  (  x0  )    (  2.1a  )

     |  f  ( b  )  -  f  (  a  )  |  =  |  b  -  a  |  |  f  '  (  x0  )      (  2.1b  )

   Und die Ableitung schätzt du nach Oben durch ihr (Betrags) maximum ab.

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Mir hat mal einer einen Witz erzaehlt. Der ging so: Im Komplexen gilt der Mittelwertsatz gar nicht.

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  Se Wits about see hole sing is osser

   Ich bin zwar kein Fachmann vom Dienst.  Aber schließlich ist die Kurve definiert auf [ a ; b ]   Wonach wird hier eigentlich abgelitten; nach dem Kurvenparameter t ?

   Nein; der Witz heißt:

   " Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

  Und dann gibt es noch den " Witz vom Onkel Fritz;  der hat ein Auto ohne  Sitz. "