Das allgemeine Vorgehen in 7 Schritten wird im zweiten Teil an einem Beispiel vorgeführt:
Allgemeines Vorgehen:
1. Was soll optimal (maxi- oder minimal) werden und wie lautet die Formel dafür? „Hauptbedingung“
2. Was ist gegeben und wie lautet die Formel dafür? (Einsetzen der gegebenen Größen). „erste Nebenbedingung“
3. Anlegen einer Skizze mit Beschriftung der gegebenen und gesuchten Stücke. Berechnen mindestens eines Spezialfalles
4. Gibt es weitere Formeln, in denen die bisher genannten Variablen und Konstanten vorkommen? „zweite Nebenbedingung“
5. Bilden die unter 1), 2) und 4) genannten Bedingungen ein Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen hat?
6. Gleichungssystem so weit reduzieren, dass außer der zu optimierenden Variable nur eine weitere Variable enthalten ist.
7. Die Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsgleichung auffassen und Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Zusatzüberlegungen zur Art jedes Extremums anstellen.
Beispielaufgabe:
Welches gleichschenklige Dreieck mit dem Umfang 30 cm hat den größten Flächeninhalt?
1. Die Dreiecksfläche soll maximal werden. Die Formel dafür lautet F=g·h/2.
2. U=2a+g. U=30 ist gegeben. 30=2a+g
3. Die Skizze muss mit g=Grundseite, a= Schenkellänge und h = Höhe auf der Grundseite beschriftet werden. Spezialfall a=8. Dann bleibt g=30-16=14. Wegen der Flächenformel (siehe1.) muss nun h berechnet werden. Hier deutet sich schon an, was unter 4.festgehalten wird: (g/2)²+h²=a². Jetzt ist h=√(64-49)=√15 und F=7√15≈27,11
4. (g/2)²+h²=a²
5. (1) F=g·h/2; (2) 30=2a+g; (3) (g/2)²+h²=a². – Drei Gleichungen mit den vier Variablen F, a, h, g lassen sich auf eine Gleichung mit den zwei Variablen F und eine aus a, h, g reduzieren.
6. Geschicktes Auflösen und Einsetzen führt schließlich zu F(a)=(15-a)√(30a-225).
7. Nach der Produktregel ableiten und auf den Hauptnenner bringen F‘(a)=(-45a+450)/√(30a-225). Diese Ableitung hat nur die Nullstelle a=10. Das muss das gesuchte Maximum sein.
Diesen Artikel gibt es nun auch auf Matheretter: https://www.matheretter.de/wiki/extremwertaufgaben
