Ich hatte letztens eine ziemlich ähnliche Aufgabe. Mir hatte es sehr geholfen, sich das ganze erstmal mit zwei Mengen vorzustellen:
A = {4,5,6,7,9}
B = {3,5,6,7,8}
A ∩ B = {5,6,7}
max(inf A,inf B) = max(4,3) = 4
inf(A ∩ B) = inf(5,6,7) = 5
sup( A ∩ B) = sup(5,6,7) = 7
min(sup A, sup B) = min (9, 8) = 8
Ich hab die Mengen in dem Beispiel jetzt mal so gewählt, so dass nie ≤ sondern immer nur < gilt.. Du hast also auch direkt schonmal ein Beispiel für:
A und B mit sup(A ∩ B) < min(sup A, sup B).
Du kannst ja gleich mal prüfen, wie weit du das alles verstanden hast, in dem du mal versuchst die Mengen so zu verändern, dass du bei diesem Beispiel überall "=" stehen hast. (Dafür musst du in beiden Mengen nur je eine Zahl raus nehmen.)
So, jetzt probier ich das mal zu beweisen :D
Ich würde da am besten mit einer Fallunterscheidung ran gehen:
(ich spreche übrigens kein Mathe, von daher ist das wahrscheinlich nicht die beste Variante es so aufzuschreiben ^^)
Beweis:
max(inf A,inf B) ≤ inf(A ∩ B):
Angenommen es gäbe ein max(inf A,inf B) > inf(A ∩ B):
Fall 1: inf A > inf(A ∩ B): Da (A ∩ B) ⊂ A, gibt es kein x ∈ (A ∩ B), so dass x ∉ A. Somit kann es auch keine untere Schranke in (A ∩ B) geben, die es nicht auch in A gibt. Deshalb kann es kein Infimum von A geben, dass größer als das Infimum von (A ∩ B) ist. Widerspruch!
Fall 2: inf B > inf(A ∩ B): Siehe Fall 1.
inf(A ∩ B) ≤ sup( A ∩ B):
Trivial, da eine untere Schranke einer Menge immer ≤ einer oberen Schranke sein muss.
sup( A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B)
Im Prinzip nicht anders als der Beweis zu max(inf A,inf B) ≤ inf(A ∩ B), ich schreibe es trotzdem noch mal hin:
Angenommen es gäbe ein sup( A ∩ B) > min(sup A, sup B):
Fall 1: sup( A ∩ B) > sup A: Da (A ∩ B) ⊂ A, gibt es kein x ∈ (A ∩ B), so dass x ∉ A. Somit kann es auch keine obere Schranke in (A ∩ B) geben, die es nicht auch in A gibt. Deshalb kann es kein Supremum von A geben, dass kleiner als das Supremum von (A ∩ B) ist. Widerspruch!
Fall 2: sup( A ∩ B) > sup B: Siehe Fall 1
Somit haben wir bewiesen, dass max(inf A,inf B) ≤ inf(A ∩ B) ≤ sup( A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B)!
Ich hoffe ich hab nirgendwo einen Fehler gemacht. Also wie gesagt ich hatte eine ähnliche Aufgabe und habe es so in etwa abgegeben und die volle Punktzahl bekommen :D
