Kombinatorik Ziehen ohne zurücklegen, ungeordnet verwirrend

Question

Ich verstehe den Unterschied zwischen geordnet und ungeordnet einfach nicht.

In meinem Buch wurde folgendes Beispiel gegeben:

BEISPIEL 1.4 Wir bestimmen die Anzahl Wörter der Länge 5 über dem Alphabet \( A=\{a, b\} \), die genau zwei \( a^{\prime} \) s enthalten. Insgesamt gibt es in einem Wort der Länge 5 genau fünf Positionen, an denen ein a stehen kann. Die Wahl der zwei Positionen, an denen ein \( a \) steht, entspricht daher einem ungeordneten Ziehen einer 2-elementigen Menge (aus der Menge der fünf möglichen Positionen) ohne Zurücklegen. Es gibt also \( \left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right)=10 \) Möglichkeiten:

\( \begin{array}{lllll}a a b b b & a b a b b & a b b a b & a b b b a & b a a b b \\ b a b a b & b a b b a & b b a a b & b b a b a & b b b a a\end{array} \)
Analog folgt: es gibt genau \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \) viele Wörter der Länge \( n \) über dem Alphabet \( A= \) \( \{a, b\} \), die genau \( k a^{\prime} \) s enthalten.

Ansatz/Problem:

Bei diesem Beispiel spielt die Reihenfolge "wann das a kommt" eben doch eine Rolle?

Bei geordnet entstehen Tupel also wäre (a,a,b,b,b) != (a,b,a,b,b), daher 10 Möglichkeiten. Ok.

Bei ungeordnet entstehen Mengen, wo die Reihenfolge keine Rolle spielt, daher {a,a,b,b,b} = {a,b,a,b,b} trotzdem wird es als verschiedene Möglichkeiten gezählt.

Und das soll ja ein Beispiel für ungeordnet sein.

Answer 1

Du musst dir bei geordnet oder ungeordnet immer folgende Frage stellen:

Hat man nach einer Reihenfolgenänderung eine wirkliche Veränderung, oder ist es eigentlich dasselbe? Wenn es also mit Beachtung der Reihenfolge ist, dann ist:$$(a,b)≠(b,a)$$weil es etwas ausmacht, wenn sie anders aneinandergereiht sind. Und wenn es ohne Beachtung der Reihenfolge ist, dann:$$(a,b)=(b,a)$$ weil es egal ist, in welcher Reihenfolge sie sortiert sind.

Aus einer Schulklasse von 23 Schulern soll eine Abordnung von 5 Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden?

Hier hat man nach einer Reihenfolgenänderung keine Veränderung alle von den 5 gewählten Schülern landen vorm Direktor. Da ist es egal, ob wer als erstes oder letztes gezogen wird:$$\begin{pmatrix} 23 \\ 5 \end{pmatrix}=33649$$ Wenn du jetzt aber z.B sagst:

An einem Pferderennen nehmen 6 Pferde teil, wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten 3 Plätze?

Hier macht die Reihenfolge was aus, da es eine wirkliche Veränderung zwischen der Reihenfolge gibt. Der erste Platz ist ja wertvoller als der zweite:$$\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 3!=120$$

Mehr findest du hier bei meiner Antwort, vielleicht hilft dir das:

https://www.mathelounge.de/532659/sitzplatze-studierende-wieviele-sitzplatzverteilungen

Nur beachte, dass eine Formel falsch war in der Antwort und in den Kommentaren verbessert wurde.

Wenn das nicht reicht, ist hier noch das, meiner Meinung nach, BESTE Kombinatorik-Video auf ganz YouTube:

https://www.youtube.com/watch?v=mq_oU8OBKCo

Answer 2

Der Begriff "ungeordnet" im Text bezieht sich auf "die Wahl der zwei Positionen, an denen ein a steht", nicht jedoch auf die Bildung der Tupel.

Answer 3

Es spielt hier keine Rolle an welcher Stelle die zwei a's in der Ziehung auftreten. Bedingung ist nur es tauchen 2 a's auf.

Du ziehst hier auch nicht die a's und b's aus einer Urne. Dann wäre es ja ein Ziehen mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.

Du ziehst hier aus der Menge der 5 Plätze die zwei Plätze wo das a stehen soll. Und dabei ist es egal ob ich zuerst Platz 1 und dann Platz 2 ziehe oder umgekehrt. Daher ist die Reihenfolge nicht interessant.