Zunächst mal. Die Wurzeln deines Polynoms lassen sich mit dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) ermitteln. Auch hier wieder meine Polemik; die auf Wiki et al. verbreitete Behauptung, der Entdecker des SRN sei Gauß, stellt die wohl größte Fälschung der Matematikgeschichte dar. Artin und v.d. Waerden, Urgestein der Algebra ( 1930 ) kennen ihn überhaupt nicht - frag deinen Prof. Wahrscheinliches Entdeckungsjahr ist 1975; Entdecker unbekannt ... Matematik muss gar nicht so dröge und unspannend sein.
Eine riesige Indizienkette widerlegt diese Behauptung; zunächst nur so viel: Das Teorem ist immerhin so modern, dass vor mir noch niemandem aufgefallen ist, dass es falsch zitiert wird; es hat doch nur Sinn für primitive Polynome ( warum? )
Ein Polynom, dessen primitive mit der Normalform überein stimmt, bezeichne ich als normiert. Normierte Polynome ( so wie deines ) können wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.
x ^ 4 + a3 x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 1a )
a3 ( - 7 ) ; a2 = 17 ; a1 = ( - 17 ) ; a0 = 6 ( 1b )
Diesem Monstrum werden wir zu Leibe rücken mit dem geschmähten Stiefkind, dem Satz von Vieta ===> symmetrische Funktionen
a0 = E1 E2 E3 E4 = 6 ( 2 )
Seit wir den SRN haben, ist es möglich, Polynome durch einen Ansatz zu knacken so, wie es etwa bei DGL schon lange üblich ist. Wenn ich nämlich davon ausgehe, dass ( 1ab ) nicht nur einen rationalen Linearfaktor abspaltet, sondern vollständig zerfällt, so überleben in ( 2 ) nur die beiden ganzzahligen Zerlegungen der 6 , als da sind die triviale 6 = 1 * 1 * 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 1 * 1 * 2 * 3 . Von Anfang an sollten wir aber jegliche Zweideutigkeit im Vorzeichen ausräumen; und dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) Für x > 0 haben wir die Signatur
( + ; - ; + ; - ; + ) ( 3a )
Und für x < 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall. Hier wie soll denn eine Summe aus lauter positiven Termen Null werden?
Streng genommen hat unser Ansatz mit der CV bereits seine erste Hürde genommen; es gibt Polynome, die rein von der CV her gar nicht zerfallen können.
0 < E1 < = E2 < = E3 < = E4 ( 3b )
Als diskriminante dient uns Vieta a3
a3 = - ( E1 + E2 + E3 + E4 ) ( 4a )
E1;2;3 = 1 ; E4 = 6 ===> a3 = ( - 9 ) ( 4b )
E1;2 = 1 ; E3 = 2 ; E4 = 3 ===> a3 = ( - 7 ) ( 4c ) ; ok
Jetzt wird es eng; es naht die Stunde der Wahrheit. Noch zwei Vietakoeffizienten bleiben zu überprüfen.
a2 = E1 ( E2 + E3 + E4 ) + E2 ( E3 +E4 ) + E3 E4 = ( 5a )
= ( 1 + 2 + 3 ) + ( 2 + 3 ) + 2 * 3 = 17 ( 5b ) ; ok
a1 = - E1 E2 ( E3 + E4 ) - ( E1 + E2 ) E3 E4 = ( 5c )
= - ( 2 + 3 ) - 2 * 2 * 3 = ( - 17 ) ( 5d ) ; ok
Deine Frage hört sich ganz so an,
1) als wärst du noch nie in die Algebravorlesung gegangen
2) als wüsstest du nicht, was ein Minimalpolynom ist
3) als hättest du noch nie von ===> Elementarteielern ( ET ) gehört.
Sollte dies tatsächlich der Fall sein, ist diese Aufgabe für dich rein pädagogisch voll Sinn los. Siehst doch; selbst für die Doofen gibt's die Filme " Matrix " und " ET " ...
In der Algebra erweist sich folgende Fragestellung als ungemein fruchtbar: Jede Nullstelle hat ein sog. Minimalpolynom, d.h. das Polynom niedrigsten Grades
p_min ( x ; x0 ) ( 6 )
Und zwar stellt sich heraus, dass dieses p_min ein Teiler ist von jedem Polynom, das eben Falls Nullstelle x0 hat. Denk etwa an die imaginäre Einheit i ; dort hast du p_min ( x ; i ) = x ² + 1 .
Diese Minimumaussage gilt übrigens nicht nur für Zahlen. Ich sage immer gerne: Ein Polynom ist gar keine Funktion, sondern eine Schablone zum Drucken von Falschgeld. Denn eine Abbildung hätte ja einen Definitionsbereich.
Dagegen ein Polynom frisst alles, was du addieren und multiplizieren kannst - und sollte es sich um Objekte handeln, die heute noch gar nicht entdeckt sind ... Sag selbst; ist das noch ein zuläsiger Defbereich?
" Alles, was wir schon kennen zuzüglich aller Dinge, die heute noch nicht entdeckt sind ... "
Ja und Matrizenpolynome gibt es eben auch. Da ein n X n Matrixring die Dimension n ² hat, muss jede derartige Matrix Nullstelle sein von einem geeigneten Polynom, dessen Grad höchstens n ² beträgt. Ist das so weit klar?
Doch ist diese Abschätzung viel zu tolerant. Jede Matrix löst nämlich ihre eigene Säkulardeterminante ( SD ) , und die hat Grad n . Für ===> halbeinfache ( diagonalisierbare ) Matrizen ist das ja trivial; aber es gilt eben allgemein.
Aha; das Minimalpolynom muss also ein Teiler besagter SD sein. Der Knalleffekt ist jetzt: Die Wurzeln des Minimalpolynoms sind bereits ALLE Eigenwerte; es fehlt nie einer. Damit hätten wir in deinem Fall
p_min ( x ; A ) = ( x - 1 ) ^ n1 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( 7 )
Zunächst ist ja noch offen, ob sich n1 als 1 oder 2 heraus stellt.
Warum man das Ganze macht. Du weißt: Nicht jede Matrix ist halbeinfach; die Eigenvektoren müssen keine vollständige Basis ergeben. Die Zerlegung nach Eigenvektoren ist i.A. nicht ===> direkt - die nach ET schon.
Unter ET versteht man genau die drei Faktoren in ( 7 )
T1 := ( A - 1| ) ^ n1 ( 8a )
T2 := ( A - 2 * 1| ) ( 8b )
T3 := ( A - 3 * 1| ) ( 8c )
diesen drei ET sind nun drei ===> Komponentenräume ( KR ; " Nilräume " ) zugeordnet; und jeder ET vernichtet seinen eigenen KR .
|R ^ 4 = V1 + V2 + V3 ( 8d )
Das Schöne: Die Dimension der KR kannst du bereits an dem Entartungsgrad der Eigenwerte ablesen; demnach haben V2 und V3 Dimension 1 . sie bestehen nur aus dem jeweiligen Eigenvektor und werden " gleich beim ersten Aufwasch " von ihrem ET vernichtet.
Dann muss aber V1 Dimension 2 haben. Wäre n1 = 1 , so muss V1 aus zwei Eigenvektoren bestehen; die Beschränkung von A auf V1 ergibt die Einheitsmatrix. Dass dies tatsächlich der Fall ist, werden wir unten beweisen ===> Das Minimalpolynom ist von drittem, micht viertem Grade.
Wäre andererseits n = 2 , so kann es nur einen Eigenvektor geben. Dieser wird vernichtet bei dem ersten Durchlauf; aber " es bleibt noch etwas stehen "
Sollten hierzu keine Fragen mehr sein, folgt jetzt die Berechnung sämtlicher Eigenvektoren zu Eigenwert Eins.
- x - 2 y - z + w = x ( 9a )
2 x + 2 y + z - w = 0 ( 10a )
6 x + 7 y + z - 3 w = y ( 9b )
6 x + 6 y + z - 3 w = 0 ( 10b )
- 2 x - 2 y + 2 z + w = z ( 9c )
2 x + 2 y - z - w = 0 ( 10c )
4 x + 4 y - w = w ( 9d )
2 x + 2 y - w = 0 ( 10d )
( max Zeichen )
