Stationäre Stelle bestimmen partielle Ableitungen

Question

ich habe die partielle Funktion f(x,y) = x*y - ln(x²+y²)

Die Ableitungen erster und zweiter Ordnung habe ich ebenfalls hin bekommen und die sind bei mir.

fx = y - (2x/ (x^2+y^2))

fy = x - (2y/ (x^2+y^2))

fxx = (2(x^2 - y^2)) / (x^2+y^2)^2

fyy = (2(-x^2 + y^2)) / (x^2+y^2)^2

und fxy = (4y(y^2 - 3x^2))/ (x^2+y^2)^3

Soweit so gut. Mein Problem ist nun, dass ich nicht auf die Stationären Stellen komme. Dafür muss ich ja fx = 0 und fy = 0 setzen. Und laut Ergebnis solle da p1(1;1) und p2 (-1/-1) herauskommen. Ich bekomme jedoch keine Lösung raus. Hier mein Rechenweg:

fx = 0 && fy = 0

y - (2x/ (x^2+y^2)) = 0   && - (2y/ (x^2+y^2)) =0  auf jeder Seite hab ich nun -y bzw. -x gemacht

- (2x/ (x^2+y^2)) = -y  && x - (2y/ (x^2+y^2)) = -x   nun habe ich mit (x^2+y^2) multipliziert

- (2x) = -y*(x^2+y^2)  && x - (2y) = -x*(x^2+y^2)  Jetzt habe ich mit (-y) bzw. (-x) dividiert

also: 2x/y = (x^2+y^2) && 2y/x = (x^2+y^2) 

Soweit habe ich die Lösung nachvollzogen, die gegeben war, aber da stockt es nun bei mir und ich weiß nicht wie es im nächsten Schritt zu  x^2 = y^2 kommt bzw. auch nicht wie man daraus die Punkte resultieren soll.

Ich habe außerdem versucht als nächstes den zweiten Teil der Lösung nachzuvollziehen, demnach soll

fxx * fyy - (fxy)^2 = -2 ergeben und es ein Sattelpunkt sein, aber auch da komme ich selbst mit meinen Ableitungen und den Punkten (1;1) und (-1/-1) auf ein anderes Ergebnis.

Wenn mir jemand jedoch einen entscheidenden Tipp zur Lösung der Stationären Punkte geben kann, wäre das eine große Hilfe.

Answer 1

Hallo

 beide Gleichungen mit (x²+y²) multiplizieren, Klammer auflösen , die aus f_x mit x, die andere mit y multiplizieren, voneinander abziehen, bleibt x⁴-y⁴=0

allerdings sieht man den gleichungen die Lösungen auch direkt an!

Gruß lul

Comments

Soweit hab ich das verstanden, also mache ich

y(x^2 +y^2) - 2x = 0  && x(x^2 +y^2) - 2y = 0

dann Klammer auflösen und fx * y und fy * x nehmen

wenn ich beide Gleichungen voneinander abziehe komme ich auch auf

x^4 - y^4 = 0

Wenn ich das y rüber nehme und Wurzel 4 Nehme  habe ich dann auch x=y da stehen und das bedeutet ja, dass x und y immer identisch sein müssen.
Ich verstehe nun aber nicht, wie ich auf die Punkte 1/1 und -1/-1 kommen soll, da ja auch zB 2/2 oder 4/4 möglich wären oder?

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Hallo

 natürlich musst du jetzt noch x=y und x=-y in eine der gleichungen einsetzen!

Gruß lul

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Jetzt hab ich es. Danke sehr!

Bei meinem Sattelpunkt kommt zwar immer noch -1 und nicht wie in der Lösung -2 raus, aber das ist dann ja immer noch ein Sattelpunkt. Ich hoffe da ist ein Fehler in der Lösung.