Aus 2 Punkten eine nach UNTEN geöffnete Parabel ausrechnen. Vorgabe: f(x) = -x^2+px+q

Question

Ich habe die Punkte M1(3/3) und M2(-1/-5) gegeben. Die Parabel schaut nach UNTEN.

Wir müssen diese Formel benutzen: f(x)=-x²+px+q.

Bisher hatte ich die Rechnung falsch.

Answer 1

f(x) = - x^2 + px + q

f(3) = - 9 + 3p + q = 3

f(-1) = - 1 - p + q = - 5

I - II

-8 + 4p = 8 --> p = 4

- 1 - 4 + q = - 5 --> q = 0

f(x) = - x^2 + 4x

Answer 2

1. Punkte einsesetzen

    3 = a·3²  + b·3 + c

    -5 = a·(-1)² + b·(-1) + c

2. Gleichungssystem lösen

3. Lösung in die Gleichung

        y = ax² + bx + c

    einsetzen.

Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar (wegen weniger Gleichungen als Variablen).

Ich vermute, es fehlt eine Information aus der Aufabenstellung, der du bei der Formulierung deiner Frage keine Bedeutung zugemessen hast

Comments

Nein, man geht von dieser Form aus:

f(x)=x^2+px+q

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Nur weil nicht genügend Informationen für eine eindeutige Lösung mit dem Ansatz

        f(x) = ax² + bx + c

vorliegen, berechtigt das nicht, auf den spezielleren Ansatz

        f(x) = x² + px + q

auszuweichen. Es könnte genau so eine Parabel der Form

        f(x) = ax² + bx

oder

        f(x) = ax² + c

sein.

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Wenn nur diese beiden Punkte gegeben ist, würde ich es bevorzugen, auf die Form von oben zurückzugreifen!

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Das scheint mir zu willkürlich zu sein. Ich würde bevorzugen, alle möglichen Parabeln anzugeben, die die genannten Bedingungen erfüllen, also

        f(x) = ax² + (2-2a)x + (-3a-3).

Je nach dem, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, kommt dann noch die Einschränkung a>0 oder a<0 hinzu.

Mögliche außer acht gelassene Bedingungen sind

        Es handelt sich um eine Normalparabel. Dann ist a = 1 oder a = -1

        Einer der Punkte ist Scheitelpunkt. Dann hilft der Ansatz

            y = a(x-d)² + e

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Hallo oswald,
in der Aufgabenstellung heißt es

wir müssen diese Formel benutzen:
f(x)=-x^2+px+q

der Koeffizient von a * x^2 entfällt.
Dann ist die Aufgabe eindeutig lösbar.

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Die Vorgabe f(x)=-x^2+px+q

wurde in der ersten Version der Frage noch nicht erwähnt. Ich kann die aber gerade nicht einblenden, es sei denn es gibt noch eine dritte Version, dieser Frage, die ich nicht finde.

Answer 3

Nachtrag: Hallo in der Antwort steckt ein kleiner Fehler. Wenn die Parabel nach UNTEN zeigt, dann so:

f(x)=-x^2+px+q

Guck mal, ob du das mit meiner Antwort hinbekommst! ;)

Es muss sich also um eine Gleichung der Form:

f(x)=x^2+px+q

Da wir nur zwei Punkte gegeben haben, also nur zwei Variablen bestimmen können. Nun stellst du anhand deinen Punkten zwei Gleichungen auf:

3^2+p*3+q=3

(-1)^2+p*(-1)+q=-5

Fasse es zusammen:

9+3p+q=3

1-p+q=-5

Das ist ein Lineares Gleichungssystem, das du mit einem beliebigen Verfahren das löst. Ich benutze das Additionsverfahren, da das hier Sinn ergibt:

I. 9+3p+q=3
II. 1-p+q=-5

8+4p=8   |-8

4p=0  |:4

p=0

q=-6

Dann in die Normalform einsetzen.

f(x)=x^2-6

https://www.desmos.com/calculator/7lykmr3swn

Comments

Hallo in der Antwort steckt ein kleiner Fehler. Wenn die Parabel nach UNTEN zeigt, dann so:

f(x)=-x^2+px+q

Guck mal, ob du das mit meiner Antwort hinbekommst! ;)