En − λA invertierbar und bestimmen der Inversen

Question

Seien K ein Körper und A ∈ Mat( n × n, K ) mit A^k+1 = 0 für ein k ∈ℕ . Zeigen Sie, dass E_n − λA invertierbar ist für jedes λ ∈ K und bestimmen Sie (E_n−λA )⁻¹ . Was bedeutet dies für die Eigenwerte von N

Für die Invertierbarkeit muss ich ja zeigen, dass die Determinante ungelich 0 ist, also  E_n − λA≠0.

Wie macht man das?

Answer 1

Lass Dich von der geometrischen Reihe inspirieren: $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$ Kann man ja auch mit Matrizen probieren: $$(E-X)^{-1}=E+X+X^2+\cdots.$$ Da Lineare Algebra nicht Analysis ist, waere es geschickt, wenn die Reihe abbraeche. Das koennte mit \(X=\lambda A\) was werden.

(Was ist \(N\)?)

Comments

Oh stimmt da habe ich mich vertippt. Anstelle N muss A stehen