Extremwertaufgabe und Funktion

Question

Es seinen eine Gerade g:y=-2x+5 und eine Parabel P(x)=-x²+3 gegeben

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Als Tipp: d(x)=g(x)-p(x)

Answer 1

g ( x ) = - 2·x + 5 ;
p ( x ) = - x^2 + 3 ;

Die Diskussion hatten wir ja schon ein paar mal.
Ist der senkrechte Abstand oder der wirklich
kleinste Abstand. Falls ja wie soll die kleinste
Abstandsfunktion aufgestellt werden.

Ich bin für Version 2 aber über eine andere
Rechnung.

Verschiebe ich die Gerade parallel zur Parabel
hin wird sie den Punkt mit der Steigung -2 zuerst
berühren.
p ´( x ) = -2x

-2x = -2
x = 1
p ( 1 ) = - 1^2 + 3 = 2
( 1 | 2 )
Normale
m2 = -1 / m1 = -1 / -2 = 1/2
2 = 1/2 * 1 + b
b = 1.5
n ( x ) = 1/2 * x + 1.5
Muß ich gerade einmal zeichnen.

Schnittpunkt g = n
-2x + 5 = 1/2 * x + 1.5
-2.5x = -3.5
x = 1.4
p ( 1.4 ) = -2 * 1.4 + 5 = 2.2

( 1.4 | 2.2 )
Abstand zwischen

a^2 = ( 1.4 - 1 ) ^2 + ( 2.2 - 2 ) ^2
a = 0.447

Ich habe mir gerade die Frage nochmals
durchgelesen.
Meine Antwort geht glaube ich an der Frage
vorbei.
Gefragt ist irgendein beliebiger variabler Punkt
x auf p für den es die kleinste Abstandsfunktion
zu g zu ermitteln gilt.

Kann sein ich stelle später noch eine
Antwort ein.

Comments

Der von mir eingestellte Rechenweg ist der
kleinstmögliche Abstand überhaupt.

Es wird aber nach einer Funktion für den
kleinsten jeweiligen Abstand eines beliebigen Punkts
( x | p ( x ) ) gefragt.

Dies ist die allgemeine Frage nach dem
kleinstmöglichen Abstand eines Punkts zu einer Geraden.

Eine Formel / Funktion gibt es nach meiner Internet-Recherche nicht. Es gibt nur Lösungswege.

Answer 2

a)

Anmerkung nach Kommentar: Bitte zunächst klären welcher Abstand genau gemeint ist.

a(x) = g(x) - p(x) = (- 2·x + 5) - (- x^2 + 3) = x^2 - 2·x + 2
a'(x) = 2·x - 2 = 0 --> x = 1

a(1) = 1
Den kleinsten Abstand haben die Funktionen bei x = 1 mit dem senkrechten Abstand 1. Für alle anderen Werte von x nimmt der senkrechte Abstand zu.

b)
A(x) = 2·1/2·(√3 + x)·(3 - x^2) = - x^3 - √3·x^2 + 3·x + 3·√3
A'(x) = - 3·x^2 - 2·√3·x + 3 = 0 --> x = √3/3
A(√3/3) = 32/9·√3 = 6.158 FE

Comments

Von "senkrecht" steht nichts in der Aufgabe.

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nein aber von g(x) und p(x | p(x))

Und es lautet ja das gleiche Variablen für gleiche Werte stehen

ansonsten müsste es doch eher

g(x) und p(a | p(a))

lauten oder nicht?

Letzteres habe ich auch gerechnet aber mich nachher dann doch für die andere Variante entschieden, ganz einfach weil man dann eher mit (a(x))^2 gerechnet hätte um die Wurzel nicht mehr im Term zu haben.

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nein aber von g(x) und p(x | p(x))

Die Buchstabenkombination g(x) kommt in der Aufgabe nirgends vor.

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g: y = -2x + 5 kann man doch deuten als g(x) = -2x + 5 oder nicht ?

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g wird in der Aufgabe zweimal ausdrücklich als Gerade bezeichnet, d.h. als geometrisches Objekt (nämlich als als die Menge aller Punkte, deren Koordinaten (x|y) der Gleichung  y = -2x + 5  genügen) und nicht als Name für eine Funktion.

(Zugegebenermaßen ist das allerdings nicht konsistent mit der Ausdrucksweise "Parabel p(x)" .)

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Vielleicht fragt der Fragesteller hier einfach mal beim Lehrer nach ob der senkrechte Abstand gemeint ist oder die kürztmöglichste Entfernung eines Punktes P(a | p(a)) von der Geraden.

Die Aufgabenstellung wirkt auch eher nach Schule anstatt Uni und in der Schule wäre das eher unüblich.

Aber wie gesagt. Ich habe das auch noch anders berechnet. Denke aber das würde eher verwirren, wenn das tatsächlich nicht gefragt sein sollte.

Daher würde ich vorschlagen einfach mal Rücksprache mit dem Lehrer zu halten.