Zwei Unbekannte bei linearen Gleichungen

Question

Frau Ude hat für einen Hauskauf eine Hypothek aufgenommen. Am Ende des ersten Jahres zahlt sie 5000€ zurück sowie 4800€ Zinsen. Am Ende des zweiten Jahres zahlt sie nur noch 4600€ Zinsen. Berechne den anfangs geliehenen Geldbetrag und den Zinssatz.

?????

8.Klasse Gymnasium

Vielen Dank

Answer 1

Deine erste Gleichung ist:

4800=x*(y/100)

Deine zweite Gleichung ist:

4600=(x-5000)*(y/100)

Löse das Gleichungssystem:

I. 4800=x*(y/100)

II. 4600=(x-5000)*(y/100)

x=120000 Λ y=4

Das heißt der Zinssatz liegt bei 4% und der ursprüngliche Geldbetrag bei 120000 EUR

Comments

Danke, die zwei Gleichungen hatte ich ungefähr (statt y/100 hatte ich nur y).....

Aber wie löse ich die?

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Hallo cara22,

I. 4800=x*(y/100)
II. 4600=(x-5000)*(y/100)

Ich bevorzuge das Einsetzungsverfahren. Bei diesem musst du eine der Gleichung nach x oder y umstellen und dann in die II. Gleichung einsetzen:

4800=x*(y/100)   |:(y/100)

x=4800/(y/100)

Nun hast du "x" definiert und kannst es in die andere einsetzen:

4600=((4800/(y/100))-5000)*(y/100)

Das dann nach "y" auflösen

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Vielen Dank

Ganz schön fummelig, puuhhh

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Du kannst es auch noch vereinfachen:

4800=x*(y/100)  |*100

480000=x*y   |:y

x=480000/y

4600=((480000/y)-5000)*y/100   |*100

460000=((480000/y)-5000)*y

46000=480000-5000y   |-480000

-5000y=-20000   |:(-5000)

y=4

x=480000/4

x=120000

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Vereinfachen??     :))) auf jeden Fall: Danke

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Ja, ich muss schon sagen, ich finde, dass das ziemlich anspruchsvoll für die 8. Klasse ist. Aber freu dich, du wirst später einen Vorteil haben!

Answer 2

Frau Ude hat für einen Hauskauf eine Hypothek aufgenommen. Am Ende des ersten Jahres zahlt sie 5000€ zurück sowie 4800€ Zinsen. Am Ende des zweiten Jahres zahlt sie nur noch 4600€ Zinsen. Berechne den anfangs geliehenen Geldbetrag und den Zinssatz.

B : geliehener Betrag
1.Jahr : Zinsen = B * Zinsrate/100 = 4800
2.Jahr : Zinsen = ( B - 5000 ) * Zinsrate/100 = 4600

B * Zinsrate/100 = 4800
( B - 5000 ) * Zinsrate/100 = 4600  | teilen
--------------------------------------------
B / ( B - 5000 ) = 4800 / 4600
B * 4600 = 4800 * ( B - 5000 )
4600*B = 4800 * B - 24000000
B = 120000

B * Zinsrate/100 = 4800
120000 * Zinsrate/100 = 4800
Zinsrate 4 %

Comments

Es gibt verschiedene Methoden 2 Gleichungen
mit 2 Unbekannten zu lösen.

B * Zinsrate/100 = 4800
( B - 5000 ) * Zinsrate/100 = 4600 

Umstellen nach Zinsrate
Zinsrate = 4800 * 100 / B

Einsetzen
( B - 5000 ) * ( 4800 * 100 / B ) /100 = 4600 
( B - 5000 ) * 4800 / B = 4600  | * B
( B - 5000 ) * 4800 = 4600 * B
4800 * B - 2400000 = 4600 * B
B = 120000

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Das von mir sehr geschätzte Mitglied H. äußerte einmal, dass zwei Unbekannte in einer Aufgabe eine Unbekannte zu viel sei; hier sind es sogar zwei zu viel :

Im zweiten Jahr muss Frau U. 200€ weniger Zinsen zahlen als im ersten, weil sie schon 5000€ des Kreditbetrags zurückgezahlt hat. 200€ sind 4% von 5000€, dass muss der Zinssatz sein.

4800€ Zinsen sind 240mal mehr Zinsen als 200€ Zinsen, also entfallen diese auf einen Betrag, der 240mal größer ist als 5000€, nämlich auf 120000€, das muss der Kreditbetrag sein.