Historischer Hintergrund
In diesem Artikel geht es im speziellen um das Taylor-Polynom. Jenes ist ein Teil der Taylor-Formel, welche vom Mathematiker Taylor Brook gefunden wurde. Jenes Polynom dient zur Näherung einer Funktion.
Ziel
Man möchte mit dem Taylor-Polynom - wie oben schon erwähnt - Funktion um einen bestimmten Punkt nähern. Das Ziel ist es, dass ein Polynom n-ten Grades entsteht. Man kann es benutzen, um beispielsweise die trigonometrischen Funktionen zu nähern.
Allgemeine Form
$${T}_{n}f(x;a)=\frac{f(a)}{0!}+\frac{{f}^{(1)}(a)}{1!}\cdot (x-a)+\frac{{f}^{(2)}(a)}{2!}\cdot (x-a)^2+\frac{{f}^{(3)}(a)}{3!}\cdot (x-a)^3...\frac{{f}^{(n)}(a)}{n!}\cdot (x-a)^n$$
Erklärung
Beim Taylor-Polynom geht es darum, dass möglichst viele Ableitungen an der einer Stelle a mit den Ableitungen des künftigen Polynoms übereinstimmen.
Zuerst wird die allgemeine Form ignoriert und versucht, es so zu lösen. Wenn man jetzt ein Polynom 4 Grades haben möchte, welches die Funktion cos(x) nähert, kann man so vorgehen.
Das künftige Polynom soll soll so aussehen: $${T}_{4}\cos(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Davon sind das die Ableitungen, die mit den Ableitungen von cos(x) übereinstimmen sollen. Jetzt muss aber noch bestimmen, um welche Stelle a die Funktion genährt werden soll. Für das Beispiel wird die Umgebung von 0 betrachtet. Also müssen die Ableitungen bei a=0 übereinstimmen und natürlich auch die Ausgangsfunktion. Dafür bildet man jeweils die Ableitungen des allgemeinen Polynoms und auch die der Ausgangsfunktion, da jene gleich sein müssen$${{T}_{4}}^{(0)}\cos(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e=\cos(x)\\{{T}_{4}}^{(1)}\cos(x)=4\cdot a\cdot {x}^{3}+3\cdot b\cdot x^2+2\cdot c\cdot x+d=-\sin(x)\\{{T}_{4}}^{(2)}\cos(x)=12\cdot a\cdot x^2+6\cdot b\cdot x+2\cdot c=-\cos(x)\\{{T}_{4}}^{(3)}\cos(x)=24\cdot a\cdot x+6\cdot b=\sin(x)\\{{T}_{4}}^{(4)}\cos(x)=24a=\cos(x)$$
Damit man mit den Variablen nicht durcheinander kommt, habe ich einfach trotzdem x dort stehen lassen. Jetzt muss man dort a einsetzten und dann zu dem übrigen Koeffizienten auflösen:$$a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2+d\cdot 0+e=\cos(0)=1\qquad => e=1 \\[15pt] 4·a·{0}^{3}+3\cdot b\cdot 0^2+2\cdot c\cdot 0+d=-\sin(0)=0 \qquad => d=0\\[15pt]\\12\cdot a\cdot 0^2+6\cdot b\cdot 0+2\cdot c=-\cos(0)=-1\qquad \quad=> c=-\frac{1}{2}\\24\cdot a\cdot 0+6\cdot b=\sin(0)=0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \ \ => b=0\\24a=\cos(0)=1\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ =>a=\frac{1}{24}$$
Das Taylor-Polynom 4. Grades zu f(x)= cos(x) bei a=0 ist also:$${{T}_{4}}\cos(x;0)=\frac{1}{24}\cdot {x}^{4}-\frac{1}{2}\cdot x^2+1$$
Jetzt nochmal die Überprüfung mit der Allgemeinen Formel. Diese dürfte jetzt auch selbsterklärend sein. $${T}_{4}\cos(x;0)=\cos(1)-\sin(1)\cdot (x-0)-\frac{\cos(1)}{2!}\cdot (x-0)^2+\frac{\sin(0)}{3!}\cdot (x-0)^3+\frac{cos(0)}{4!}\cdot (x-0)^4\\{T}_{4}\cos(x;0)=1-0-\frac{1}{2}\cdot x^2+0+\frac{1}{14}\cdot x^4\\{T}_{4}\cos(x;0)=\frac{1}{24}\cdot x^4-\frac{1}{2}\cdot x^2+1$$
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, nur geht es mit der zweiten Variante deutlich schneller. Kann man denn überhaupt so Funktionen näherungsweise als Polynom darstellen?
Graph
Das Polynom kommt der Ausgangsfunktion bis zu einem gewissen Punkt schon ziemlich nah.
Anwendung
Jetzt stellt sich noch die Frage, wofür man das überhaupt braucht.
Für das Taylor-Polynom gibt es viele verschiedene Anwendungen. Ein Beispiel hierfür sind Nullstellen von Exponentialfunktionen. Dafür muss man wissen, wo die Nullstelle(n) ist (sind). Dann kann man die Funktion näherungsweise mit einem Taylor-Polynom nähern und kann dann eine genauere Stelle ausrechnen.
Eine andere Anwendung könnte sein, wenn man zwei Funktionen gleichsetzten möchte, die eine ist ein normales Polynom und die andere ist Exponentialfunktion. In dem Fall bringt man alles auf eine Seite, sodass 0=Rest steht. Dann ersetzt man die Null durch eine Funktionsvorschrift, wie f(x) oder f: y=
Dann bestimmt man - wie oben erläutert - die Nullstellen.
Außerdem kann man damit auch Funktionen wie cosh(x) oder tan(x) möglicherweise im Kopf rechnen, zumindest in der Umgebung.
Das war so das gängigste über das Taylor-Polynom.
Über konstruktive Kritik in den Kommentaren würde ich mich sehr freuen.
