flächeninhalt der schnittfläche

Question

Ein Zylinder mit dem Radius r=2 und der Zylinderachse in der Richtung (4,6,−5)^T wird durch eine Ebene mit dem Normalenvektor (6,7,−3)^T geschnitten. Berechnen Sie deb Flächeninhalt die der Schnittfläche

ich weiß nicht wie ich hier vorgehen muss

Answer 1

A = pi·2^2·(|[4, 6, -5]|·|[6, 7, -3]| / ([4, 6, -5]·[6, 7, -3])) = 13.19879047

Answer 2

Berechne \(cos(\varphi)\) für den Winkel \(\varphi\) zwischen der Zylinderachse und des Normalenvektors der Ebene:

\(\cos(\varphi)=\frac{\left\langle\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ -5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ -3\end{pmatrix}\right\rangle}{\left\lVert\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ -5\end{pmatrix}\right\rVert\cdot \left\lVert\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ -3\end{pmatrix}\right\rVert}=\frac{4\cdot6+6\cdot7+(-5)\cdot(-3)}{\sqrt{4^2+6^2+(-5)^2}\cdot\sqrt{6^2+7^2+(-3)^2}}=\frac{81}{\sqrt{77}\cdot\sqrt{94}}=\frac{81}{\sqrt{7238}}\)

Querschnittsfläche des Zylinders:

\(A_K = \pi\cdot r^2 = \pi\cdot 2^2 = 4\pi\)

Die Schnittfläche des Zylinders mit der Ebene ist dann eine ellipsenförmige Fläche mit Flächeninhalt ...

\(A_S = A_K\cdot\cos(\varphi) = 4\pi\cdot\frac{81}{\sqrt{7238}}\approx 11,96\)

Comments

A_(S) ≥ A_(K)
Du hast den Faktor  2 / sin (2φ)  vergessen.

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A_(S) ≥ A_(K)

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das ergebnis ist falsch

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Da ich mit einem anderen Winkel gearbeitet hatte als M. (der leider aber auch φ hieß), ist der vergessenen Faktor von dem ich oben sprach tatsächlich nicht 2 / sin (2φ) sondern  2*tan (φ) / sin (2φ).
Damit solltest du auf das richtige Ergebnis  A_(S) ≈ 13,2  kommen.

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Ist die Fläche ca. 13.20 groß?

Ich bin mir etwas unsicher, weil ich den Faktor von hj2166 nicht richtig verstehe.

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Sorry, ich habe da nicht ganz aufgepasst.

Es muss \(A_S = \frac{A_K}{\cos(\varphi)}\approx13,20\) sein.

Für große Halbachse \(a\) der Schnittellipse gilt: \(\frac{2r}{2a} = \cos(\varphi)\)

Demnach erhält man \(a = \frac{r}{\cos(\varphi)}\) als Länge der großen Halbachse der Schnittelipse. Die kleine Halbachse ist genauso lang wie der Zylinderradius: \(b = r\).

Damit gilt für den Flächeninhalt der Schnittellipse:

\(A_\text{S} = \pi\cdot a\cdot b = \pi \cdot \frac{r}{\cos(\varphi)}\cdot r = \frac{\pi\cdot r^2}{\cos(\varphi)}=\frac{A_K}{\cos(\varphi)}\)