Beweis durch Nachrechnung/Umformung

Question

Beweisen Sie durch Nachrechnen/Umformung:

Answer 1

(n über k) = (n über n - k)

n! / (k! * (n - k)!) = n! / ((n - k)! * (n - (n - k))!)

n! / (k! * (n - k)!) = n! / ((n - k)! * k!)

wzbw

Comments

(n über k) = (n - 1 über k - 1) + (n - 1 über k)

n! / (k! * (n - k)!) = (n - 1)! / ((k - 1)! * (n - 1 - (k - 1))!) + (n - 1)! / (k! * (n - 1 - k)!)

(n - 1)! * n / (k! * (n - k)!) = (n - 1)! / ((k - 1)! * (n - k)!) + (n - 1)! / (k! * (n - k - 1)!)

n / (k! * (n - k)!) = 1 / ((k - 1)! * (n - k)!) + 1 / (k! * (n - k - 1)!)

n / (n - k)! = k / (n - k)! + 1 / (n - k - 1)!

n = k + (n - k)

n = k + n - k

n = n

wzbw

Answer 2

a)

Du fragst dich, wie man darauf kommt, dass \(\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n-k\end{pmatrix}\) ergibt. Naja, das guck ich mir mal an. Du kennst wahrscheinlich schon das, was der Binomialkoeffizient eigentlich abkürzt nehme ich an:$$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{ (n-k)! \cdot k!}$$ Ich forme jetzt mal ein bisschen um:$$\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n-n+k)!}$$ Hier in diesem Schritt haben wir ja eigentlich noch nix verbrochen.\(n-n\) löst sich einfach wieder auf und wir haben das von vorhin:$$\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}=\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}$$ Fertig sind wir schon.

b)

Hier verstehe ich nicht was daran besonders sein soll. Das schaut für mich so als würde man sich freuen, weil \(\frac{2}{2}=\frac{2}{2}\) auch \(\frac{2+1}{2+1}=\frac{2+1}{2+1}\) ist.

EDIT:
Ups, ich habe nicht gesehen, das es \(\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n-1 \\ k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-1 \\ k\end{pmatrix}\) ist...

Mathecoach got your back!

Answer 3

(n über k)=n!/(n!·(n-k)! und (n über (n-k))=n!/((n-k)!·n!).

Answer 4

n über k    =   n über  n-k

<=>  n ! /  ( k !  *(n-k) ! )   =  n ! /  (  (n-k) ! * ( n-(n-k)) !  )

Passt !

So ähnlich (rechte Seite Hauptnenner bestimmen) geht auch das zweite.

Answer 5

Für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) und alle \(k\in\mathbb{N}_0\) mit \(k\leq n\) gilt: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]

a)

Idee: Binomialkoeffizient mit oben genannter Formel umschreiben, leicht umformen, und wieder die oben genannte Formel zurück benutzen.

Für alle \(n\in\mathbb{N}\) und alle \(k\in\mathbb{N}\) mit \(k<n\) gilt: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}=\binom{n}{n-k}\]

b)

Idee: Mit der rechten Seite anfangen. Die Binomialkoeffizienten mit oben genannter Formel umschreiben, auf gemeinsamen Nenner \(k!\cdot (n- k)!\) bringen, die Brüche addieren, und wieder die oben genannte Formel zurück benutzen.

Für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n>1\)und alle \(k\in\mathbb{N}\) mit \(0<k<n\) gilt: \[\begin{aligned}\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-1-(k-1))!}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-1-k)!}\\&=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!}\\&=\frac{(n-1)!\cdot k}{(k-1)!\cdot k\cdot (n-k)!}+\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{k!\cdot (n-k-1)!\cdot(n-k)}\\&=\frac{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot (n-k)!}+\frac{n!-(n-1)!\cdot k}{k!\cdot (n-k)!}\\&=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\binom{n}{k}\end{aligned}\]