Sei \(a\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 5 Euro Einheiten. Sei \(b\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 30 Euro Einheiten. Sei \(c\in\mathbb{N}\) die Anzahl der 100 Euro Einheiten.
Es soll nun sein:
\(a + b + c = 100\)
\(5a + 30 b + 100 c = 1000\)
Löst man dieses lineare Gleichungssystem erhält man
\(a = 80 + \frac{14}{5}c\)
\(b = 20 - \frac{19}{5}c\)
für beliebiges \(c\). Offensichtlich sind \(a\) bzw. \(b\) nur dann ganze Zahlen, wenn \(c\) ein Vielfaches von \(5\) ist. Setze demnach \(c= 5 n\) für \(n\in \mathbb{N}\). Dann erhält man:
\(a = 80 + 14n\)
\(b = 20 - 19n\)
\(c = 5n\)
Für \(n \geq 2\) wäre \(b\) negativ, so dass \(n \leq 1\) sein muss, also \(n = 1\). Die einzige Möglichkeit ist also:
\(a = 94\)
\(b = 1\)
\(c = 5\)
