Hermitesche Matrix (Spektralsatz)

Question

Man zeige:

zu jedem $$A \in \mathbb C^{n\times n}  $$mit $$ \bar{A}^T = A$$ und $$v^TAv > 0$$, fur alle $$ v \in \mathbb C^n \setminus \{0\}, $$
gibt es ein $$ M \in  \mathbb C^{n\times n}$$  mit $$M \bar{M}^T = A$$. (Tipp: Spektralsatz.)

Comments

Kennst du den Spektralsatz? Zitiere ihn doch mal. Vielleicht ist dann die Hälfte der Arbeit schon getan.

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Es gibt zu jeden reellen Eigenwert einen Eigenvektor, die eine Orhonormalbasis bilden.  Und dann?

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Kannst du mir nochmal weiterhelfen

Answer 1

Die Matrix \( A \) ist hermitesch und somit auch normal. Der Spektralsatz sichert dir die Existenz einer unitären Matrix \( U \) mit

$$ A = U^*DU $$

Wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte der Matrix \( A \) auf der Diagonalen besitzt.

Überlege dir mal warum \( A \) nur reelle Eigenwerte hat. Wenn du das überprüft hast, kannst du \( D \) in der Form

$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\lambda_n \end{pmatrix}$$

mit \( \lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{R} \) darstellen. Sind die Eigenwerte alle nicht-negativ? Wenn ja könnten wir \( D \) einfach zerlegen:

$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\lambda_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & & & \\ & \sqrt{\lambda_2} & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} ^ 2 =: \left(\sqrt{D}\right)^2 $$

Also

$$ A = U^* \left(\sqrt{D}\right)^2 U = (U^* \sqrt{D})(\sqrt{D}U) $$

Wenn du jetzt noch zeigst, dass

$$\sqrt{D} = \sqrt{D}^* $$

folgt doch direkt:

$$ A = (U^* \sqrt{D})(\sqrt{D}U) = (U^* \sqrt{D}^*)(\sqrt{D}U) = (\sqrt{D}U)^*(\sqrt{D}U) $$

Setze jetzt \( M:= (\sqrt{D}U)^* \), dann stehts schon da.

Comments

Danke für deine Antwort:)

Wir haben das etwas anders definiert, also andersrum:

Für eine hermitesche Matrix gibt es eine invertierbare unitäre Matrix B mit $$    B^{-1} A B =D$$

und D als Diagonalmatrix mit Eigenwerten. Das diese reell sind, habe ich mir klar gemacht.

Kann man das mit dieser Def auch das beweisen?

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Klar kannst du das. Wenn \( B \) invertierbar ist:

$$ B^{-1} A B = D \implies AB = BD \implies A =BDB^{-1} $$

Beim ersten Schritt von links mit \( B \) multiplizieren. Beim zweiten von rechts mit dem Inversen.

Bei mir oben ist halt \( U = B^{-1} \).

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U* heißt komplexe Konjugation bei dir?

Ich sehe gerade noch nicht warum $$ U=B^{-1}. B^{-1}$$ ist ja egtl in diesem Fall:

$$ \bar{B^T}$$ d.h  $$B^{-1} A B =  \bar{B^T} A B $$

Dann ist ja $$ A=BDB^{-1} = B D  \bar{B^T}$$

Dan verstehe ich deine Darstellung nicht genau.

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\( U^* = \overline{U}^T \) ist bei mir die adjungierte Matrix

Dann ist ja

$$ A=BDB^{-1} = B D  \overline{B}^T $$

Richtig und wenn du jetzt \( U = \overline{B}^T = B^{-1} \) setzt, erhältst du \( B = \overline{U}^T \) und damit \( A = U^* D U \)

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Perfekt danke:)

Warum sind die Eigenwerte nicht negativ, weil du ja dann die Wurzel ziehen kannst?

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Die Eigenwerte sind positiv nach Voraussetzung. A ist nämlich positiv definit.

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Ok ich bin ja blöd. Sorry für die blöde Frage:(

Das einzige was nachzuweisen ist, ist dann noch warum $$\sqrt{D}=\sqrt{\bar{D^T}} $$

Komplexe Konjugation bei reellen Eigenwerten ist ja klar. Dann ist auch klar, dass die transponierte Matrix einer Diagonalmatrix wieder die gleiche Matrix ist, weil man ja an der DIagonale , die erhalten bleibt, nur 0 "spiegelt".

Wie kommst du egtl auf diese Idee, dass man das mit dem Wurzelziehen macht :)?

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Blöd war sie nicht. Lieber einmal zu viel gefragt, als einmal zu wenig.

Richtig,

$$ \sqrt{D} = \sqrt{D}^* $$

\(D\) ist eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen, da ist die Eigenschaft offenbar erfüllt, denn wenn man diese Matrix adjungiert, passiert nichts.

Wie ich darauf komme? Aus dem Produkt \( U^* D U \) soll etwas in der Form \( M^*M \) gemacht werden. Ein "naiver" Weg ist es, zu schauen, ob man das \(D\) so in zwei Faktoren aufteilen kann, dass die gewünschte Form erreicht wird, die genauen Details ergeben sich dann ... ;)

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Danke für deine Hilfe:)

Ich wünsche dir eine noch schönen Restabend:)