Fehlenden Punkt berechnen, wenn Dreieck ABC a) rechtwinklig , b) gleichschenklig

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Vom Dreieck ABC sind die Ecken A(2/-3/4) und B(7/9/6) gegeben. Die Ecke C liegt auf der Gerade durch P(-1/1/4) und Q(-1/1/5). Berechne die Koordinaten der Ecke C, wenn die Seite c = AB
a) Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ABC ist,
b) Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABC ist.

Ich hätte jetzt als erstes den Mittelpunkt zwischen A und B berechnet und anschliessend eine Gerade, die orthogonal zu der Gerade AB ist. Jedoch finde ich anschliessend keinen Schnittpunkt mit der Gerade, welche durch P und Q geht.

Für AB bekam ich: (x/y/z) = (2/-3/4) + t*(-5/-12/-2)

und da ich die orthogonale Gerade ausrechnen wollte habe ich das Skalarprodukt mit (-5/-12/2) * (x/y/z) = 0 gesetzt und bekam anschliessend für den orthogonalen Richtungsvektor (12/-5/0). Und für den Mittelpunkt zwischen A und B bekam ich: (4.5/3/5). Für die orthogonale Gerade bekam ich:

(x/y/z) = (4.5/3/5) + s*(12/-5/0)

Jetzt habe ich diese Gerade mit der Gerade durch die Punkte P und Q gleichgesetzt. Jedoch bekam ich hier keinen Schnittpunkt und komme nicht mehr weiter.

Comments

und da ich die orthogonale Gerade ausrechnen wollte habe ich das Skalarprodukt mit (-5/-12/2) * (x/y/z) = 0 gesetzt

Das reicht nicht aus. Die Lotgrade, die du bestimmen möchtest, muss auch orthogonal zum Dreieck ABC sein.

Answer 1

Ich hätte jetzt als erstes den Mittelpunkt zwischen A und B berechnet und anschliessend eine Gerade, die orthogonal zu der Gerade AB ist.

Das ist ein geeigneter Ansatz für b) nicht für a).

Jedoch finde ich anschliessend keinen Schnittpunkt mit der Gerade, welche durch P und Q geht.

Dann hast du die falsche Gerade orthogonal zu der Geraden AB erwischt.

Es gibt mehrere Geraden, die durch den Mittelpunkt zwischen A und B verlaufen und zu der Geraden AB orthogonal sind. Diese Geraden bilden zusammen eine Ebene. Berechne den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden durch P und Q.

das Skalarprodukt mit (-5/-12/2) * (x/y/z) = 0 gesetzt

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Bestimme eine zweite Lösung, die nicht Vielfaches von deiner Lösung (12/-5/0) ist. Die zwei Lösungen kannst du dann als Richtungsvektoren der Ebene verwenden.

zu a)

Der Ortsvektor \(\vec{OC}\) des Punktes C lässt sich darstellen als

(1)        \(\vec{OC} = \vec{OP} + r\vec{PQ}\)

weil C auf der Geraden durch P und Q liegt. Weil das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat, gilt

(2)        \(\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0\).

Außerdem ist

(3)        \(\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC}\) und \(\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}\)

mit

(4)        \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} 7\\9\\6 \end{pmatrix}\)

1. Setze (1) und (4) in (3) ein.
2. Setze (3) in (2) ein.
3. Bestimme damit \(r\).
4. Setze den Wert für \(r\) in (1) ein.