Ich verstehe dieses Gegenbeispiel nicht? f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

Question

in einer anderen Aufgabe habe ich schon bewiesen das f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) und nun soll ich diese Aussage anhand eines Gegenbeispieles beweisen oder widerlegen. Im Internet habe ich die beiden folgenden Beispiele gesehen:

(i) Sei f={1,2} → {1} gegeben durch f(1) = 1, f(2) =1 und sein A = {1}, B = {2}. Um zu erkennen das dies ein Gegenbeispiel sei muss man wissen das A ∩ B = ∅ und deswegen folgt f(A ∩ B) = ∅, aber f(A) ∩ f(B) = {1} ∩ {1} = {1}.

Meine Fragen: Wo ist die Abbildungsvorschrift in der Aufgabe? Sind A = {1} und B = {2} beliebige Mengen? Gilt dieser Beweis Analog für f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)?

Quelle zu (i) (Habe es aus dem englischen übersetzt): https://math.stackexchange.com/questions/482633/image-of-intersection-of-sects-not-equal-to-intersection-of-images-of-sets

(ii) Man wähle f: ℝ → ℝ, x ↦ x² sowie die Menge A = (-∞, o) und B = (0, ∞). Hier soll der Beweis auch gelten.

Anmerkung: Hier würde mich es interessieren wie dieser Beweis aussehen würde(habe keine Idee) aber mir reicht es (i) zu verstehen.

EC

Comments

habe ich schon bewiesen das f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)

Was hast du genau bewiesen? Wenn die Formel bewiesen ist, ist es nicht möglich, dass du ein Gegenbeispiel findest.

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Habe die folgende Aussage bewiesen: f^-1(A1 ∪ A2) = f^-1(A1) ∪ f^-1(A2). Bin von dieser Tatsache aus ausgegangen das die andere Aussage auch gilt (scheint wohl nicht zu stimmen?)

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f^-1(A1 ∪ A2) = f^-1(A1) ∪ f^-1(A2).

Das stimmt. Du darfst f^-1 nicht einfach durch f ersetzen.

Liegt daran, dass f^{-1}(A) die Urbildmenge von A bezeichnet. Die Schreibweise impliziert NICHT, dass f bijektiv ist, wenn als Argument von f^{-1} eine Menge angegeben wird.

Funktionswerte können zwei Urbilder haben. Aber jedes Element des Definitionsbereichs von f hat genau einen Funktionswert.

Answer 1

Hallo

 die Grundmenge ist hier {1,2} A und B sind Teilmengen A={1}, B={2}

 auf der Grundmenge ist f dadurch beschrieben, dass beide Elemente auf 1 abgebildet werden.

dann ist f(A)=f(1)={1} f(B)=f(2)={1} der Durchschnitt ist {1} während der Durchschnitt von A und B leer ist

Wenn du vorher was anderes gezeigt hast, war das entweder falsch oder f hatte andere Eigenschaften (surjektiv , bijektiv ?)

wenn die Gesamtmenge r R ist ist A und B jeweils Teilmenge ihr Durchschnitt leer

 aber für alle x!=0  ist x^2>0 also aus B

 damit ist f(A)=f(B) der Durchschnitt ist B also nicht leer.

auch im ersten Beispiel kannst du M={-1,1} nehmen ,A={-1}, B={1} f(x)=x^2

Gruß lul

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!! Habe es endlich verstanden!