Kern von einer Matrix bestimmen

Question

Wieso ist der Kern von $$\begin{pmatrix}  0 & -18 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}=(\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{pmatrix})$$ und nicht $$(\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix})?$$  Als Lösung kommt ja für $$x_1=0, x_2=0$$ raus und somit bleiben doch $$x_3, x_4$$ als freie Variablen übrig.

Answer 1

hier ist wohl   < [ 0, 0, 1, 0 ] , [ 0, 0, 0, 1 ] >   gemeint,

also die Menge der Linearkombinationen der beiden Vektoren.

Gruß Wolfgang  

Comments

Also ist der Kern dieser Matrix

$$<\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{pmatrix}>?$$

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ja, oder  < [ 0, 0, 1, 0 ] , [ 0, 0, 0, 1 ] >

der aufgespannte Unterraum ist jeweils der gleiche.

In den beiden letzten Koordinaten ist jeweils jede beliebige Zahl darstellbar.

Answer 2

  Siehs doch so;  die Wahl der Basis bleibt doch unendlich vieldeutig.

   " Sie haben Recht Hr. Meyer; und natürlich haben Sie auch Recht Hr. Müller  "

   Mein Kommilitone Volker schielte immer ganz neidisch nach mir;  in der Matematik sei sowas nicht möglich ...

     e1 :=  (  0  |  0  |  1  |  0  )  ;  e2  :=  (  0  |  0  |  0  |  1  )     (  1  )

     Dann folgt doch

        (  0  |  0  |  1  |  1  )  =  e1  +  e2  €  Kern