Sind folgende Funktionen stetig?

Question

wir haben unterschiedliche Aufgaben zu Stetigkeit bekommen.

a) Aufgabenstellung: Sind folgende Funktionen in x₀ stetig?

      

           cos(x) für x ≥ 0

f(x) =

           1 - 2x² für x < 0

cos(x) an der Stelle 0 ist 1. Für die 2. Gleichung fällt 2x bei 0 weg, bleibt 1. Somit ist f(x) stetig.

b) Aufgabenstellung: Untersuche folgende Funktionen f:R → R auf Stetigkeit.

           x² cos( π * x -4 ) für x ≠ 0

f(x) =

          1                         für x = 0

Da in der ersten Gleichung x ≠ 0 kann ich für x nicht 0 annehmen. Würde ich x=0 setzen, ergibt das auch hier 1. Im zweiten Fall ist f(x) ist 1, bei x=0. Da f(x) 1 in beiden Fällen, ist f(x) stetig. Ist meine Lösung so korrekt oder sollte ich so argumentieren:

Polynome stetig sind, cos( x ) stetig ist, somit erste Gleichung somit stetig ist?

Comments

Meinst du

x^{2} cos( π * x -4 ) für x ≠ 0

oder

x^{2} cos( π * (x -4) ) für x ≠ 0  ?

Spielt eigentlich keine Rolle dafür, dass f in x=0 unstetig ist.

Answer 1

Bei der 2. Argumentation stimmt was nicht:

Für x gegen 0 geht der Term in der oberen Zeile auch gegen

0  ( denn x^2 geht gegen 0 und cos(...) ist beschränkt.

Also müsste f(0)=0 definiert werden, damit es bei 0 stetig ist.

Stetigkeit an allen anderen Stellen so wie du es vorschlägst:

Polynome stetig sind, cos( x ) stetig ist  ................

Answer 2

f ( x ) = x^2 cos( π * x -4 ) für x ≠ 0
für x = ist ein Funktionswert möglich
0 ^2 cos( π * 0 -4 )
0 * cos ...
f ( 0 ) = 0

Steht im Widerspruch zu
f(x) = 1 für x = 0

Die Funktion ist nicht stetig.