Stimmen meine Lösungen der Gleichung 4sin(3x) = 0,5?

Question

Ich übe grade ein bisschen trigonometrische Gleichungen lösen. Ich wollte wissen ob meine Lösungen stimmen.

4*sin(3x) = 0,5 , x€IR  I :4

sin(3x) = 1/8 I p := 3x

sin(p) = 1/8 I „sin^{-1} (1/8)

p1 = 0,125327831

p2 = pi - 0,125327831 = 3,016264823

Rücksubstitution :

0,125327831 = 3x I :3

x1 = 0,041775944 +- 2pi/3 * k

x2 = 1,005421608 + - 2pi/3 * k

L = { x€IR I x =  0,041775944 +- 2pi/3 * k v 1,005421608 + - 2pi/3 * k k € Z }

Danke.

Comments

Was soll x Eurozeichen IR bedeuten?

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x Element der reellen Zahlen

Answer 1

Wenn du nur die Resultate kontrollieren willst, kannst du hier schauen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*sin(3x)+%3D+0.5

Näherungsweise (approximate form):

Beachte: Kommazahlen sind mit Punkt einzugeben. Besser sogar als Bruch. Also 1/2 statt 0.5 .

Comments

Danke, aber in der Arbeit kann ich ja auch nicht WolframAlpha fragen ob meine Ergebnisse stimmen. Es muss ja eine Probe dafür vorhanden sein bzw. stimmt dies jetzt oder was ist falsch?

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Als Probe kannst du die Einsetzprobe verwenden. D.h. Resultate einsetzen und schauen, ob das Richtige herauskommt.

Dein Rechenweg ist übrigens in Ordnung. Die Zahlen habe ich nicht in den Taschenrechner eingetippt.

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Hab geprüft es kommt für beides 0,49 und 0,5 raus, aber wie prüfe ich die Periodizität. Ich meine ich könnte auch bei der Umformung ein Fehler gemacht haben.

Also :

2pi/3 *k

Wie kann ich prüfen ob dies richtig ist?

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Setze ein paar Werte ein für k

Also nicht nur

0,041775944 +- 2pi/3

Sondern auch

0,041775944 + 2pi/3

und

0,041775944 + 2* 2pi/3

und

0,041775944 - 2pi/3

usw. sollte alles richtig sein.

Aber

0,041775944 + 2pi/6 sollte z.B. falsch werden. 

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Eine Frage :

cos(pi*x) = 0,1, x€[0;2pi[

Warum kann ich z.b zu x1 nicht + 2 addieren ist ja immerhin die Periode? Wenn ich dies mache stimmen meine Ergebnisse nicht.

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Warum kann ich z.b zu x1 nicht + 2 addieren ist ja immerhin die Periode?

Du kannst so viel addieren, wie du willst.

x€[0;2pi[ sagt dir nur, dass (als Lösungen) nur die x-Werte zwischen 0 und 2π (inklusive 0) interessieren. 

2π ≈ 6.283185307...

D.h. du kannst schon 2 addieren, wenn du willst.

Z.B. 0.3 + 2 = 2.3 ist zwischen 0 und 2π.

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Ja aber meine Ergebnisse stimmen dann nicht. Muss ich für diese Intervalle immer mein x1 nehmen und +- Periode rechnen und schauen was rauskommt und im Intervall liegt oder geht es anders?

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x€[0;2pi[

ist manchmal in der Aufgabe vorgegeben. Das kannst und musst du nicht ausrechnen.

Was verwendest du denn für pi? π ≈ 3.141592653 das darfst du nicht zu stark runden.

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Ich runde eigentlich wenn es nicht vorgegeben ist nie.

Bei Aufgaben mit x€IR habe ich eigentlich keine Probleme. Hier muss man ja nur :

x1 = wert +-k*periode

x2 = wert+-k*periode

Aber wenn es mit den Intervallen kommt verstehe ich nichts und einfach mit den Taschenrechner vergebens zu raten ob diese Zahl im Intervall gehört ist auch nicht mathematisch.

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Du kannst auch schätzen. 2π ist ungefähr 6.3

2π/3 ungefähr 2.1

2*2π/3 ungefähr 4.2

3*2π/3 ist exakt 2π . Alles, was grösser ist, ist somit nicht mehr gefragt.

D.h. die ersten drei Lösungen sind:

0,041775944

0,041775944 + 2pi/3

0,041775944 + 2* 2pi/3

Nun mit

 1,005421608 gleich vorgehen

Du solltest 6 Lösungen im verlangten Intervall bekommen, da cos(3x) die Periodenlänge 2π/3 hat.

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O. k. danke also muss man das doch mit dem Taschenrechner machen. Dann weiß ich jetzt Bescheid.

Answer 2

4sin(3x)=0.5

sin(3x)=1/8

Wegen \(sin(y)=sin(π-y)\) hat die Gleichung zwei Lösungen. (MEHR ARBEIT!!)

sin(3x)=1/8

sin(π-3x)=1/8

Du musst nun 3x isolieren. Verwende dafür die Inverse der trig. Funktion:

3x=arcsin(1/8)

π-3x=arcsin(1/8)

sin(3x) ist periodisch; um alle Lösungen zu finden musst du die Periode 2nπ mit k∈ℤ hinzufügen:

3x=arcsin(1/8)+2nπ

π-3x=arcsin(1/8)+2nπ

Jetzt kannst du die Gleichungen einfach nach x auflösen:

x=(arcsin(1/8)/3)+(2nπ)/3

x=(-arcsin(1/8)/3)-(2nπ)/3

Comments

Danke, allerdings ist deine Lösung nach den Rechner nicht ganz richtig. Was stimmt den an meine Lösung nicht?

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Der Rechner stimmt mir zu :D

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sin(p) = 1/8 I „sin-1 (1/8)
p1 = 0,125327831

Du musst mir mal sagen, was hier passiert ist?

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Ich hab einfach Substitutiert. Dein Rechenweg sieht sehr ähnlich zu Photomath aus. Ich persönlich kann mit solchen Apps nichts anfangen.

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Du weißt, dass sin(3x) periodisch ist.

Du weißt, dass sin(x)=sin(π-x) d.h. zwei Gleichungen hat.

Willst du wissen, wie man die bestimmen, ob eine Funktion periodisch ist, oder wie?

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Ich möchte nur wissen wie ich meine Ergebnisse prüfe ähnlich der ganzrationalen Funktionen.

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Okay, das lässt sich hinbiegen:

Das sind die Lösungen von Wolfram:$$x=\frac{1}{3}\left(2\pi n+ \pi-arcsin\left(\frac{1}{8}\right)\right)$$$$x=\frac{1}{3}\left(2\pi n+arcsin\left(\frac{1}{8}\right)\right)$$ Setze doch einfach einen random Wert für "n" ein und guck, ob das selbe Ergebnis rauskommt?

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Danke aber ich möchte kein Wolfram Alpha nutzen hierfür. Ich möchte das mit meinen Werten prüfen. Das Tool nutze ich nur für die komplexen Zahlen.

Answer 3

Ich runde eigentlich wenn es nicht vorgegeben ist nie.

4 · sin(3x) = 0,5  | : 4

sin(3x) = 0,125

mit k∈ℤ   und   s:=  arcsin(0,125)    [ auf dem TR meist sin^-1 ]

3x = s + k · 2π    oder   3x = π - s + k · 2π

x = 1/3 · s + k · 2/3 π   oder   x = 1/3 · (π -  s) + k · 2/3 π

Aber wenn es mit den Intervallen kommt verstehe ich nichts und einfach mit den Taschenrechner vergebens zu raten ob diese Zahl im Intervall gehört ist auch nicht mathematisch.

Wenn ein Intervall [a,b] vorgegeben ist, kann man die passenden k∈ℤ auch berechnen oder - wenn man nicht runden will (oder soll) - in dieser Form angeben:

a ≤ 1/3·s + k·2/3·π ≤ b    oder   a ≤  1/3 · (π -  s) + k · 2/3 π ≤ b   [k ∈ ℤ]

(3·a - s) / (2π) ≤  k ≤ (3·b - s) / (2π)   oder   (3·a + s - π) / (2π) ≤ k ≤ (3·b + s - π) / (2π)

Gruß Wolfgang